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Exercices sur les séries entières

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On propose des exercices sur les séries entières. C’est une classe importante de séries de fonctions très utiles en analyse mathématique.

Paquet d’exercices sur les séries entières

Exercice: (Rayon de convergence)  Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:\begin{align*}& \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}z^n,\quad \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{n^2}z^n\\ & \sum_{n=0}^{+\infty}n^n z^n,\qquad \sum_{n=0}^\infty\frac{\ln(n)}{n^2}z^{n}\\ & \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2}z^n,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty}n^{\beta} z^n,\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*}

Solution: 1- On pose $a_n=\frac{1}{n!}$. Comme \begin{align*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0 \quad (n\to+\infty),\end{align*} alors la le rayon de convergence est $R=+\infty$. Autre méthode:Il existe $z_0\in mathbb{C}$ avec $z_0\neq 0$ tel que la série $\sum, a_n z^n_0$ soit convergente. En particulier, il existe $M>0$ tel que $|a_n z_0|\le M$ pour tout $n$. Maintenant, pour tout $z\in\mathbb{C},$ on a\begin{align*}\left| \frac{a_n}{n!}z^n \right|\le \frac{M}{n!}\left| \frac{z}{z_0} \right|^n,\end{align*}ce qui implique que la série entière en question convergence absolument, d’où le résultat.

2- Soit $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. Alors \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=(1+\frac{1}{n})^{n}=e^{n \ln(1+\frac{1}{n})}=e^{n(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^{1+o(1)}.\end{align*} Ainsi $ \sqrt[n]{a_n}\to e$ quand $n\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence est $R=\frac{1}{e}$.

3- On pose $a_n=n^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=n\to +\infty (n\to+\infty).\end{align*} Ainsi le rayon de convergence est $R=0$.

4- Soit $a_n=\frac{\ln(n)}{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&= \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \left(1+ \frac{1}{\ln(n)}\ln(1+\frac{1}{n})\right)\times \frac{n^2}{(n+1)^2}.\end{align*} Maintenant il est claire que $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\to 1$ quand $n\to+\infty$. Ainsi le rayon de convergence est $R=1$.

5- On considère $a_n=e^{-n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{e^{-(1+n)^2}}{e^{-n^2}}=e^{-2n-1}\to 0\quad (n\to+\infty).\end{align*} Ce qui montre que le rayon de convergence est $R=+\infty$

6- On pose $a_n=n^{\beta}$ pour $n\in\mathbb{N}$ et $\beta\in\mathbb{R}$. On a alors \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \frac{(n+1)^\beta}{n^\beta}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^\beta\to 1\quad (n\to+\infty).\end{align*} Donc le rayon de convergence est $R=1$.

Exercice: Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$ for $\gamma>0$.

Solution: La série $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ converge si $|z^\beta|<R$ et diverge si $|z^\beta|\ge R$. Autrement dit elle converge si $|z|<R^{\frac{1}{\gamma}}$ et diverge si $|z|\ge R^{\frac{1}{\gamma}}$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$.

Exercice: Déterminer le rayon de convergence de la série entière \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}z^n.\end{align*}

Solution: Un calcul direct ne donnera rien. En effet si on pose $a_n=(1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}$, pour $n\in\mathbb{N}$. Bien entendu on a $1+\frac{(-1)^n}{n}>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a (voir l’exercice précèdent) \begin{align*}\sqrt[n]{a_n}= \left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^{n}= e^{(-1)^n+o(1)}.\end{align*} Malheureusement cette quantité n’a pas de limite. Donc il faut changer la technique. Pour éviter le terme $(-1)^n$ on doit séparer les indices pair et impair. En effet, on peut écrire \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n&= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k+1}\cr &= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ z \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}\end{align*} avec $b_k=a_{2k}$ et $c_k=a_{2k+1}$. On a alors \begin{align*} b_k&=\left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k^2},\cr c_k&=\frac{2k}{2k+1}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k^2+4k}.\end{align*} On a \begin{align*} \sqrt[k]{b_k}= \left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k}=e^{4k \ln(1+\frac{1}{2k})}=e^{2+o(1)}.\end{align*} Ce qui implique que $\sqrt[k]{b_k}\to e^2$. Ainsi d’après l’exercice précèdent, le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}$ est $R_1=\sqrt{e^{-2}}=\frac{1}{e}$. D’autre part, \begin{align*} \sqrt[k]{c_k}&= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k+4}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} e^{2+o(1)}.\end{align*} En déduit que $\sqrt[k]{c_k}\to e^2$ quad $k\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}$ est $R_2=\frac{1}{e}$. Finalement le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^n$ est $R=\min(R_1,R_2)=\frac{1}{e}$.

Applications du théorème d’Abel

Ici c’est les application du théorème d’Abel

Intégrales de Wallis et calcul intégral

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Nous proposons un problème corrigé sur les intégrales de Wallis (John Wallis). Ce dernier est un mathématicien anglais, né en 1616 et décédé en 1703. Cet exercice est une bonne occasion de s’adapter au calcul intégral.

Problème sur les intégrales de Wallis

Pour chaque $n\in\mathbb{N},$ on définie une intégrale au sens de Riemann\begin{align*}\omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n(t)dt.\end{align*}

  1. Vérifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a\begin{align*}\omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n(\theta)d\theta.\end{align*}
  2. Montrer que la suite $(\omega_n)_n$ est décroissante et est convergente.
  3. Vérifier que $\omega_n>0$ pour tout $n$.
  4. Montrer que\begin{align*}\forall n\in\mathbb{N},\quad\omega_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\omega_n.\end{align*}
  5. Montrer que la suite $((n+1)\omega_n\omega_{n+1})_n$ est constante$.
  6. Montrer que $\omega_n$ est équivalent à $\omega_{n+1}$ quand $n\to+\infty$, c’est-à-dire\begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}=1.\end{align*}
  7. En déduite que\begin{align*}\omega_n\underset{n\to+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}.\end{align*}
  8. Montrer que pour tout $p\in\mathbb{N},$\begin{align*}\omega_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p} (p!)^2}\frac{\pi}{2},\quad \omega_{2p+1}=\frac{2^{2p} (p!)^2}{(2p+1)!}.\end{align*}
  9. En déduire la première formule de Wallis\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{\pi}}=\lim_{p\to +\infty} \sqrt{p};\frac{1\times 3\times\cdots\times (2p-1)}{2\times 4\times (2p)}.\end{align*}

Solution:

  1. Il suffit de faire le changement de variable $\theta=\frac{\pi}{2}-t$ pour $0\le t\le \frac{\pi}{2}$ et utiliser la formule $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos(\theta)$.
  2.  Montrons que la suite $(\omega_n)_n$ est décroissante. En effet, comme $0\le \sin(t)\le 1$ pour tout $t\in [0,\frac{\pi}{2}],$ alors on a $0\le\sin^{n+1}(t)\le \sin^n(t)$ pour tout $0\le t\le \frac{\pi}{2}$ et pour tout $n$. En intégrant cette inégalité entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ on trouve $\omega_{n+1}\le \omega_n$ pour tout $n$. Ce qui montre que cette suite est bien décroissante. De plus il est clair que $\omega_n\ge 0$ pour tout $n$. Ainsi la suite $(\omega_n)_n$ est convergente.
  3. Supposons qu’il existe $N\in\mathbb{N}^\ast$ tel que $\omega_N=0$, c’est-à-dire l’intégrale de la fonction continue positive $t\mapsto \sin^N(t)$ sur $ [0,\frac{\pi}{2}]$ est égal à zéro. Cela implique que $\sin^N(t)=0$ pour tout $t\in [0,\frac{\pi}{2}]$. Ce n’est pas possible.
  4.  Soit $n\in \mathbb{N}$. Une intégration par parties deux fois donne \begin{align*} \omega_{n+2}&=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin(t)\,\sin^{n+1}(t)dt=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (-\cos(t))’\,\sin^{n+1}(t)dt\cr &=(n+1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2(t) \sin^n(t)dt\cr &=(n+1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (1-\sin(t))^2 \sin^n(t)dt\cr&= (n+1)\omega_n- (n+1)\omega_{n+2}.\end{align*} Cela implique $(n+2)\omega_{n+2}=(n+1)\omega_{n}$ pour tout $n$.
  5.  On pose $C_n=(n+1)\omega_n\omega_{n+1}n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.  Nous avons par question (4), \begin{align*} C_{n+1}-C_n&=(n+2)\omega_{n+1}\omega_{n+2}-(n+1)\omega_n\omega_{n+1}\cr&= (n+1)\omega_n\omega_{n+1}-(n+1)\omega_n\omega_{n+1}=0,\end{align*} Ainsi $C_n=C_0$ pour tout $n,$ et donc $(n+1)\omega_n\omega_{n+1}=\omega_0\omega_1=\frac{\pi}{2}$.
  6.  Comme $\omega>0$, alors d’apres (4) et le fait que la suite $(\omega_n)$ est décroissante, ona  \begin{align*} \frac{n+1}{n+2}=\frac{\omega_{n+2}}{\omega_n}\le \frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}\le 1.\end{align*} Ainsi $\frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}\to 1$ quand $n\to\infty$. Ce qui signifie que $w_n\sim w_{n+1}$ quand $n\to\infty$.
  7.  Les équivalences $\omega_{n+1}\sim \omega_n$ et $n+1\sin n$ implique que $\frac{\pi}{2}=C_n=(n+1)\omega_{n+1}\omega_n\sim n \omega^2_n$. Ce qui donne $\omega^2_n\sim \frac{\pi}{2n}$. D’où le résultat.

Inégalités de Hölder et Minkowski

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Les inégalités de Hölder et Minkowski jouent un rôle central dans l’analyse mathématique et trouvent des applications puissantes en calcul intégral. Dans cet article, nous explorerons en détail ces inégalités, en expliquant leurs concepts, en mettant en évidence leurs utilisations et en fournissant des exemples concrets adaptés aux étudiants universitaires.

Inégalité de Hölder

Cette inégalité est très utile pour estimer des intégrales au sense de Riemann. On rappelle que  Hölder est un mathématicien allemand né à Stuttgart (1859-1937).

Théorème (Hölder): Soient $a,b\in\mathbb{R},$ tels que $b>a$ et $f,g$ deux fonctions réelles ou complexes intégrable au sense de Riemann sur $[a,b]$. Soient $p,q\in \mathbb{R}^\ast_+$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que \begin{align*}\int^a_b |f(t)g(t)|dt \le \left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*}

On pose \begin{align*} &\alpha:=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\cr & \beta:=\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*} On utilisant un exercice sur les applications des fonctions convexes, pour tout $u,v\in\mathbb{R}^+$, on a\begin{align*} uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.\end{align*} Maintenant, pour $x\in [a,b]$ on pose $u=\frac{1}{\alpha}|f(x)|$ et $v=\frac{1}{\beta}|g(x)|$. Donc \begin{align*} \frac{1}{\alpha\beta}\int^b_a |f(x)g(x)|dx\le \frac{\alpha^p}{p\alpha^p}+\frac{\beta^q}{a\beta^q}=1.\end{align*} D’où le résultat.

 Inégalité Minkowski

Théorème (Minkowski): Soit $f$ une fonction réelle ou complexe intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$. Pour tout réel $p\ge 1$, on définit \begin{align*}N_p(f):=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}.\end{align*}Montrer que l’inégalité de Minkowski suivante $N_p(f+g)\le N_p(f)+N_p(g)$ pour toute fonctions réelles ou complexes $f,g$ intégrables sur $[a,b]$.

Applications en Calcul Intégral

Ces inégalités sont essentielles pour établir des estimations sur des quantités intégrales complexes. Par exemple, elles sont utilisées pour prouver des inégalités importantes telles que l’inégalité de Sobolev et l’inégalité de Young. En économie et en sciences de l’ingénieur, elles aident à analyser les modèles mathématiques qui impliquent des intégrales de produits.

Les inégalités de Hölder et Minkowski sont des outils puissants en calcul intégral, offrant des moyens de quantifier les relations entre les fonctions et leurs intégrales. En tant qu’étudiants universitaires, la maîtrise de ces inégalités peut enrichir votre compréhension des concepts fondamentaux de l’analyse mathématique et de leurs applications variées.

Extension du lemme de Lebesgue

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Ici on propose un exercice corrigé sur une extension du lemme de Lebesgue pour les fonctions localement intégrables au sens de Riemann sur l’ensemble de nombres réels.

On rappelle qu’une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite localement intégrable au sens de Riemann sur $\mathbb{R}$ si pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a<b,$ la fonction $f$ est intégrable sur $[a,b]$.

Résultat classique de Lebesgue les intégrales définies

Foit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. Alors on a \begin{align*} \lim_{\lambda\in \mathbb{R},\lambda\to +\infty} \int^b_a e^{i\lambda t} f(t)dt=0.\end{align*}C’est le lemme de Lebesgue. Dans le paragraphe suivant nous allons donner une extension de ce lemme sous forme d’un exercice. De plus nous allons déduire une preuve du résultat en haut.

L’exercice suivant est un peu théorique, il suffit de comprendre la démonstration que je vais détailler. Pour être bon en mathématiques, vous devez, sans aucun doute, faire des exercices de calcul pour appliquer le cours et aussi des exercices théoriques pour approfondir vos connaissances.

Extension du lemme de Lebesgue

Exercice: Soit $g:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction localement intégrable sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique ($T>0$ un réel).

  1. Montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ (avec $b>a$), on a\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}\int^b_a g(\lambda t)dt=\frac{b-a}{T}\int^T_0 g(t)dt.\end{align*}
  2. Monter si $f:[a,b]\to \mathbb{C}$ est intégrable, alors\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}\int^b_a g(\lambda t)f(t)dt=\frac{1}{T}\int^T_0 g(t)dt \int^b_a f(t)dt.\end{align*}
  3. Expliciter le résultat obtenu pour chaque cas de la fonction $g:$\begin{align*}&g(t)=e^{it},\quad g(t)=|\sin(t)|,\quad g(t)=|\cos(t)|,\cr & g(t)=\sin^2 t,\quad g(t)=\cos^2(t).\end{align*}

Solution: Pour $\lambda>0$ le changement de variable $s=\lambda t$, nous donne \begin{align*} \Phi_\lambda:=\int^b_a g(\lambda t)dt=\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a}g(s)ds.\end{align*} Il faut maintenant profiter de la périodicité de la fonction $g$. Pour cela nous allons écrire la mesure de l’intervalle $[\lambda a,\lambda b]$ (qui est $\lambda b-\lambda a$) en fonction de la période $T$. Ensuite, vous devez faire la division euclidienne de $\lambda b-\lambda a$  par $T$, on ecrie donc \begin{align*} \lambda b-\lambda a= n_\lambda T+r_\lambda,\quad 0\le r_\lambda<T,\end{align*}avec $n_\lambda\in\mathbb{N}$ est la partie entiere de $(\lambda b-\lambda a)/T$. D’autre part, la relation de chasles implique \begin{align*} \Phi_\lambda&= \frac{1}{\lambda}\int^{\lambda a+n_\lambda T}_{\lambda a}g(s)ds+\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds\cr &= \frac{n_\lambda}{\lambda}\int^T_0 g(s)ds+\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds.\end{align*} On aussi \begin{align*} \frac{b-a}{T}=\frac{n_\lambda}{\lambda}+\frac{r_\lambda}{\lambda T}.\end{align*} Puisque \begin{align*}0\le \frac{r_\lambda}{\lambda T}< \frac{1}{\lambda},\end{align*} alors  $$ \lim_{n\to+\infty} \frac{n_\lambda}{\lambda}=\frac{b-a}{T}.$$ Ainsi \begin{align*}\lim_{\lambda\to+\infty} \frac{n_\lambda}{\lambda}\int^T_0 g(s)ds=\frac{b-a}{T}\int^T_0 g(s)ds.\end{align*} Notez que la fonction $g$ est bornée sur $[0,T]$ car elle est intégrable sur $[0,T]$. Comme la fonction $g$ est aussi $T$-périodique alors $g(\mathbb{R})=g([0,T]),$ et donc $g$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Il existe donc une constante $M>0$ telle que $|g(\sigma)|\le M$ pour tout $\sigma\in\mathbb{R}$. Ce qui implique \begin{align*} \left| \frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds \right|& \le \frac{1}{\lambda} \int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} |g(s)|ds\cr & \le \frac{M}{\lambda} r_\lambda \le \frac{MT}{\lambda}\to 0\; (\lambda\to+\infty).\end{align*} D’où le résultat

Exercices sur les intégrales de Riemann et applications

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On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sommes de Riemann, intégration parties et changement de variables. En effet, ces sommes sont importantes pour calculer les limites de suites.

Exercices sur les intégrales de Riemann

Il est crucial de retenir qu’au contraire de ce qui est enseigné au lycée, l’intégrale d’une fonction bornée peut être définie sur un intervalle borné. Ainsi, pour qu’une fonction bornée sur un intervalle borné $[a,b]$ soit intégrable selon Riemann, il faut que la différence entre la somme supérieure et inférieure de Darboux tende vers $0$ lorsque le pas de la subdivision, qui définit ces sommes, se rapproche de $0$. Cette caractérisation est vérifiée pour les fonctions continues et les fonctions monotones.

Conseils pour un calcul efficace des intégrales

Lorsque vous abordez le calcul d’une intégrale et d’une primitive, il est essentiel de garder à l’esprit l’utilisation de l’intégration par parties, des changements de variables ou des propriétés des fonctions courantes. Voici quelques exemples illustratifs.

Exercice: Cet exercice paraît simple, mais son objectif est de vous illustrer comment utiliser de manière précise les formules d’intégration par parties et de changement de variables.

  1. En utilisant une intégration par parties, calcler $$ I=\int^1_0 xe^{-x}ds.$$
  2. En utilisant un changement de variables, calculer $$ J=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\ln(\sin{x})dx,$$
  3. Soient $a,b\in\mathbb{R}^ast$ tel que $a\neq b$ et $a+b\neq 0$. Calculer la primitive \begin{align*}K= \int \sin(ax)\sin(bx)dx.\end{align*}

  1. Pour l’intégral $I$ on a \begin{align*}I&= \int^1_0 xe^{-x}ds=\int^1_0 x (-e^{-x})’dx=\left[-xe^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}-\int^1_0 (x)'(-e^{-x})dx\cr &=-e^{-1}+\int^1_0 e^{-x}dx=-e^{-1}+\left[-e^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}=1-2e^{-1}.\end{align*} Ici, nous avons fait une intégration par partie. Dans ce cas, la fonction à l’intérieur de l’intégrale prend la forme $f g’$. Pour $f$ on choisit une fonction dont la dérivée est simple.
  2. On a \begin{align*} J=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\ln(\sin{x})dx\end{align*} fonction $x\mapsto \sin(x)$ est continue et strictement positive sur l’intervalle $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Donc la fonction $\mapsto \ln(\sin(x))$ est bien définie sur cet intervalle. De plus, on fait le changement de variable $u=\sin(x)$. Donc $du=\cos(x)dx$. En remplaçant dans l’intégrale on trouve \begin{align*}J&=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ln(u)du=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (u)’\ln(u)du\cr &=\left[ u\ln(u)\right]^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}u \frac{1}{u}du=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\ln(\sqrt{2})).\end{align*}
  3. La méthodes la plus simple est d’utiliser les formules trigonométriques. En effet, on sait que\begin{align*}\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\left(\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)\right).\end{align*} Ainsi \begin{align*} K=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin((a-b)x)}{a-b}-\frac{\sin((a+b)x)}{a+b}\right)+C,\end{align*} avec $C$ une constante réelle.

Exercice: Déterminer la primitive:\begin{align*}I=\int \frac{dx}{ \sqrt[3]{1+x^3}}.\end{align*}

Nous allons tout d’abord reformuler $I$ sous la forme d’une intégrale impliquant une fraction facile à évaluer. Pour ce faire, nous effectuerons deux changements de variable successifs. Le premier changement de variable est défini par$y=\frac{1}{x}$. Alors $dy= -\frac{dx}{x^2}= – y^2dx$, ce qui implique que $dx=-\frac{dy}{y^2}$. En remplace dans $I$ on trouve \begin{align*}I=-\int \frac{dy}{y^3\sqrt[3]{1+y^3}}.\end{align*} Maintenant le deuxième changement de variable défini par $t=\sqrt[3]{1+y^3}$. Ce qui donne $y^3=t^3-1$. Donc\begin{align*}I=-\int \frac{t}{t^3-1}dt.\end{align*}Il est important de décomposer cette fraction en éléments simple. En effet, on a\begin{align*}\frac{t}{t^3-1}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{t-1}-\frac{t-1}{t^2+t+1}\right).\end{align*}En intégre, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{3}\int \frac{t-1}{t^2+t+1},dt.\end{align*}D’autre part,\begin{align*}\int \frac{t-1}{t^2+t+1} dt= \frac{1}{2}\int \frac{2t+1}{t^2+t+1}dt -\frac{3}{2}\int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}Donc \begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}De plus \begin{align*}\int \frac{dt}{t^2+t+1}&=\int \frac{dt}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\cr &= \frac{4}{3}\int \frac{dt}{\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}.\end{align*} On trouve alors\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}En écrivant $t^3-1=y^3=\frac{1}{x^3}$ on trouve\begin{align*}t=\frac{\sqrt[3]{1+x^3}}{x}.\end{align*}Après tout calcul fait, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{2}\ln(&\sqrt[3]{1+x^3}-x)-\cr & \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{2\sqrt[3]{1+x^3}+x}{x}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}

Vous pouvez aussi voir les fonctions définies par une intégrale.

 Formule de la moyenne pour les intégrales de Riemann

Rappelons la formule de la moyenne. Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ deux fonctions telles que $g\ge 0,$ $g$ intégrable sur $[a,b],$ et $f$ continue sur $[a,b]$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que\begin{align*}\int^b_a f(t)g(t)dt=f(c)\int^b_a g(t)dt.\end{align*}

Exercice: Calculer la limite \begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}.\end{align*}

Nous appliquons la formule moyenne. Pour $x>0,$ on choisit\begin{align*}g(t)=\frac{1}{t},\quad f(t)=e^{-t},\qquad t\in [x,3x].\end{align*} On a $g>0$ et intégrable sur $[x,3x]$ (car elle est continue), et $f$ est continue sur $[x,3x]$. Donc il existe $c_x\in [x,3x]$ (le $c$ depond de $x$ car si $x$ varie le $c$ varie aussi), tel que\begin{align*}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}&= \int^{3x}_x f(t)g(t)dtcr & = f(c)\int^{3x}_x f(t)g(t)dt\cr & = e^{-c_x}\log(3).\end{align*}Comme $x\le c_x\le 3x$, donc $c_x\to 0$ si $x\to 0$. Donc\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}=\log(3).\end{align*}

Sommes de Riemann

Rappelons c’est quoi une somme de Riemann. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$ et soit $a=x_0<x_1<\cdots<x_n$ une subdivision de $[a,b]$ definie par $x_n=a+k\frac{b-a}{n}$ pour $k=1,2,\cdots,n$. Alors \begin{align*}\int^b_a f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( a+k\frac{b-a}{n}\right).\end{align*} Un cas particulier important: $a=0$ et $b=1$, donc on a \begin{align*}\int^1_0 f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( \frac{k}{n}\right).\end{align*}

Exercice: Pour $\alpha>0,$  calculer la limite de la suite suivante:\begin{align*}u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n\alpha+k}.\end{align*}

On écrit \begin{align*} u_n&=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \frac{1}{\alpha+\frac{k}{n}}\cr & =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^nf\left( \frac{k}{n}\right)\end{align*}avec $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ est la fonction continue \begin{align*}f(x)=\frac{1}{\alpha=x}.\end{align*}Ainsi \begin{align*} \lim_{n\to\infty}u_n=\int^1_0 f(x)dx=\log\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right).\end{align*}

Exercices théoriques sur les intégrales de Riemann

Exercice: Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrable au sense de Riemann. Etudier la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, de\begin{align*}I_n=\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx.\end{align*}

On passe à la valeur absolue pour majorée $I_n$ par une suite qui tend vers $0$ à l’infini. Pour cela il faut se rappeler que toute fonction intégrable au sens de Riemann est bornée. Soit alors $M>0$ tel que $|f(x)|le M$ pour $x\in [0,1]$. On alors \begin{align*}|I_n|&=\left|\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx\right|\cr & \le \int^1_0 \frac{|f(x)|}{1+nx}dx \cr & \le M \int^1_0 \frac{dx}{1+nx}\cr &= \frac{M}{n}\ln(1+n).\end{align*}Comme \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} \frac{M}{n}ln(1+n)=0,\end{align*}alors $I_n$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$.

Pour la notion des intégrales généralisées souvent en utilise les intégrales propre et aussi les critères de comparaisons.

Équations différentielles linéaires

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Les équations différentielles sont des outils puissants pour modéliser des phénomènes qui varient en fonction du temps ou de l’espace. Une équation différentielle linéaire est une équation qui peut être écrite sous la forme $$ a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n}+\cdots+a_1(x)\frac{d y}{dx}+a_0(x)y=g(x),$$ où $a_i(x)$ et $g(x)$ sont des fonctions données. L’ordre de l’équation est le plus grand $n$ tel que $a_n(x)\neq 0$. Dans ce cours, nous allons explorer en profondeur les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre.

Contrairement aux équations différentielles non linéaires, les équations différentielles linéaires possèdent toujours des solutions, indépendamment de conditions particulières. Découvrez cette propriété essentielle.

Équations Différentielles Linéaires du Premier Ordre

Solutions Homogènes

Une équation différentielle linéaire du premier ordre homogène peut être écrite sous la forme : $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$ où $P(x)$ est une fonction donnée. La solution générale de cette équation est donnée par : $$ y(x)=C e^{-\int P(x)dx}$$ où $C$ est une constante d’intégration.

Méthode de Variation des Constantes

Lorsque l’équation devient non homogène : $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ où $Q(x)$ est une fonction donnée, la méthode de variation des constantes propose une solution particulière sous la forme : $$y_p(x)=u(x)y_h(x)$$ où $u(x)$ est une fonction à déterminer. En substituant $y_p(x)$ dans l’équation non homogène, nous pouvons déterminer $u(x)$ en isolant $u'(x)$ et en l’intégrant. En trouve $$ u(x)=\int \frac{Q(x)}{y_h(x)}dx.$$ Donc la solution particulière est $$ y_p(x)= \left(\int \frac{Q(x)}{y_h(x)}dx \right)y_h(x).$$ La solution generale de l’équation non homogène est $$ y(x)=y_h(x)+y_p(x).$$

Exercice: Resoudre $$ \frac{dy}{dx}+2x y=x.$$

La solution de l’équation homogène $y'(x)+2xy=0$ est donnée par $y_h(x)= C e^{-x^2}$. Par un calcul intégral simple, la solution particulière est $$ y_p(x)= \left(\int xe^{x^2} dx\right) e^{-x^2}=\frac{1}{2}.$$ Ainsi la solution générale de l’équation est $y(x)=C e^{-x^2}+\frac{1}{2}$.

Équations Différentielles Linéaires du Second Ordre

Les équations différentielles linéaires du second ordre sont un domaine passionnant et complexe qui englobe de nombreux phénomènes physiques et naturels. Elles se présentent sous la forme générale : $$ a \frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=f(x),$$ où $a,b$ et $c$ sont des constantes, et $f(x)$ est une fonction donnée. Ces équations jouent un rôle crucial dans la modélisation de systèmes vibratoires, de circuits électriques, de mouvements oscillatoires et bien plus encore.

Solutions Fondamentales

Pour résoudre les équations différentielles du second ordre homogènes ($f(x)=0$), nous supposons une solution de la forme $e^{rx}$, ce qui conduit à l’équation caractéristique associée : $$ ar^2+br+c=0.$$

Les solutions dépendent alors des racines $r$ de cette équation caractéristique. Trois cas distincts émergent en fonction de la nature des racines :

  1. Racines Réelles et Distinctes ($r_1\neq r_2$). Les solutions prennent la forme $y(x)=Ae^{r_1 x}+Ae^{r_2 x}$, où $A$ et $B$ sont des constantes déterminées par des conditions initiales.
  2. Racines Réelles et Égales ($r_1\neq r_2=r$). Les solutions prennent la forme $y(x)=(A+Bx)e^{rx}$, où $A$ et $B$ sont des constantes déterminées par des conditions initiales.
  3. Racines Complexes Conjugées ($r_1=\alpha+i\beta,\; r_2=\alpha-i\beta$). Les solutions prennent la forme $y(x)=e^{\alpha x}(A \cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$, où $A$ et $B$ sont des constantes déterminées par des conditions initiales.

Méthode des Coefficients Indéterminés

Lorsque nous sommes confrontés à des équations différentielles linéaires non homogènes du second ordre, la méthode des coefficients indéterminés se révèle être une approche puissante pour déterminer une solution particulière $y_p(x)$. Cette méthode repose sur l’idée de deviner une fonction $y_p(x)$ qui satisfait l’équation non homogène.

La forme générale de $y_p(x)$ dépend de la nature de la fonction $f(x)$ dans l’équation différentielle :

  1. Fonction Polynomiale : Si $f(x)$ est un polynôme de degré $n,$ alors $y_p(x)$ est un polynôme de même degré, avec des coefficients indéterminés pour chaque terme.
  2. Exponentielle : Si $f(x)$ est de la forme $e^{mx}$, alors $y_p(x)$ sera de la forme $Ae^{mx},$ où $A$ est un coefficient indéterminé.
  3. Sinus/Cosinus : Si $f(x)$ est de la forme $A\cos(nx)+B\sin(nx),$ alors $y_p(x)$ sera de la forme $C\cos(nx)+D\sin(nx),$ avec des coefficients indéterminés.

Une fois la forme de $y_p(x)$ déterminée, nous substituons cette fonction dans l’équation différentielle non homogène. En ajustant les coefficients indéterminés, nous trouvons les valeurs qui rendent $y_p(x)$ solution de l’équation. Cela nous permet d’obtenir une solution particulière qui, lorsqu’elle est combinée avec la solution générale de l’équation homogène $y_h(x)$, donne la solution générale de l’équation non homogène ($y(x)=y_h(x)+y_p(x)$).

Exemple: Résoudre l’équation différentielle: $$ \frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=2e^{2x}.$$

  1. Solution homogène $y_h(x)$: L’équation caractéristique associée est $r^2+3r+2=0$. CComme le discriminant de cette équation est $\Delta= 9-8=1$, alors nous avons deux solutions $r_1=\frac{-3+1}{2}=-1$ et $r_2= \frac{-3-1}{2}=-2$. Ainsi on a $y_h(x)=A e^{-x}+Be^{-2x},$ avec $A,B\in\mathbb{R}$.
  2. Nous voulons trouver une solution particulière $y_h(x)$ pour cette équation. Comme le terme non-homogène de l’équation est de la forme $f(x)=2e^{2x}$ (est une exponentielle), nous supposons que $y_p(x)$ est de la forme $C e^{2x},$ où $C$ est un coefficient indéterminé. Nous substituons $y_p(x)=C e^{2x}$, on trouve $$4C e^{2x}+3\cdot 2Ce^{2x}+2Ce^{2x}=2e^{2x}.$$ Tout calcul fait, on a $C=\frac{2}{11}$.
  3. La solution générale de l’équation non homogène $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$: $$ y(x)=A e^{-x}+Be^{-2x}+\frac{2}{11} e^{2x}.$$.

Exercices sur les équations différentielles linéaires

Exercice: Soit $\gamma$ un nombre réelle. Résoudre l’équation différentielle suivante: \begin{align*}\tag{Eq}y'(t)=\gamma y(t)+\sin(t).\end{align*}

D’après le cours l’équation (Eq) toujours admet une solution $y$ de classe $C^1,$ c’est à dire $y$ est dérivable et que sa fonction dérivée $y$ est continue. Ceci nous permet de faire les opérations suivantes: \begin{align*}\frac{d}{ds} \left(e^{-\gamma s}y(s)\right)&= e^{-\gamma s}y'(s)-\gamma e^{-\gamma s}y(s)\cr &= e^{-\gamma s}(\gamma, y(s)+\sin(s))-\gamma e^{-\gamma s}y(s)\cr &= e^{-\gamma s} \sin(s).\end{align*} Maintenant, en intégrant les deux cotés de l’égalité en haut entre $0$ et $t$ on trouve\begin{align*}\int^t_0\frac{d}{ds} \left(e^{-\gamma s}y(s)\right)\;ds=\int^t_0e^{-\gamma s} \sin(s)ds.\end{align*}Ce qui donne \begin{align*}e^{-\gamma t}y(t)- y(0)=\int^t_0e^{-\gamma s} \sin(s)ds.\end{align*}En multipliant les deux cotés de cette égalité par $e^{\gamma t}$ on trouve \begin{align*}y(t)=e^{\gamma t}y(0)+\int^t_0 e^{(t-s)\gamma} \sin(s)ds,\qquad t\in\mathbb{R}.\end{align*}

Limite a l’infini de la solution

Exercice: Soit $\gamma >0$ une réel et soit l’équation différentielle\begin{align*}y'(t)=-\gamma y(t)+\frac{\arctan(t^5)}{1+t^4} y(t),\qquad t\ge 0.\end{align*} Montrer que si $\gamma>\frac{\pi}{2},$ alors la solution de cette équation satifait $|y(t)|\to 0$ quand $t\to+\infty$.

Par la même méthode que dans l’exercice en haut, on obtient \begin{align*} \frac{d}{ds} \left(e^{\gamma s} y(s)\right)&=e^{\gamma s}y'(s)+\gamma e^{\gamma s} y(s)\cr &= e^{\gamma s}\left( -\gamma y(s)+\frac{\arctan(t^5)}{1+s^4} y(s)\right)\cr &= e^{\gamma s}\frac{\arctan(t^5)}{1+s^4} y(s).\end{align*}En intégrant les deux cotés entre $0$ et $t$ on trouve\begin{align*}e^{\gamma t} y(t)-y(0)=\int^t_0 e^{\gamma s}\frac{\arctan(t^5)}{1+s^4} y(s);ds.\end{align*}Ainsi \begin{align*}y(t)=e^{-\gamma t} y(0)+\int^t_0 e^{-\gamma (t-s)} \frac{\arctan(s^5)}{1+s^4} y(s)\;ds\end{align*}3) En passe à la valeur absolue dans l’egalité en haut et en applique l’inégalité triangulaire (i.e. $|a+b|\le |a|+|b|$), on trouve\begin{align*}|y(t)|&\le \left|e^{-\gamma t} y(0)\right|+\left|\int^t_0 e^{-\gamma (t-s)} \frac{\arctan(s^5)}{1+s^4} y(s)\;ds\right|\cr & \le e^{-\gamma t} |y(0)|+ \int^t_0 e^{-\gamma (t-s)} \frac{|\arctan(s^5)|}{1+s^4} |y(s)|\;ds.\end{align*}D’autre part, on sait que la fonction arctan est majorée par $\frac{\pi}{2}$ et que que $\frac{1}{1+s^4}\le 1$. Donc,\begin{align*}|y(t)|\le e^{-\gamma t} |y(0)|+ \frac{\pi}{2}e^{-\gamma t}\int^t_0 e^{\gamma s} |y(s)|\;ds.\end{align*}En multipliant les deux cotés par $e^{\gamma t}$ on trouve\begin{align*}e^{\gamma t}|y(t)|\le |y(0)|+ \frac{\pi}{2}\int^t_0 e^{\gamma s} |y(s)|\;ds.\end{align*}En appliquant le lemme de Gronwall (on prend $\varphi(t)=e^{\gamma t}|y(t)|$, $A=|y(0)|$ et $B= \frac{\pi}{2}$), on trouve\begin{align*}e^{\gamma t}|y(t)|\le e^{\frac{\pi}{2} t}|y(0)|.\end{align*} Donc $$ |y(t)|\le e^{-\left( \gamma-\frac{\pi}{2}\right)},\quad \forall t\ge 0.$$ D’où le résultat.

Suites de Cauchy et applications

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Nous vous proposons un résumé des cours et des exercices corrigés sur les suites de Cauchy. Parfois, il est facile de montrer qu’une suite est convergente en prouvant simplement qu’il s’agit d’une suite de Cauchy. C’est le cas des suites récurrentes qui sont définies par des fonctions contractantes ou hölderiennes.

Definition d’une suite de Cauchy 

Une suite $(u_n)_n$ de nombres réels est appelée suite de Cauchy s’il existe un entier (assez grand) $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $p,q>N$, la distance entre les deux termes de la suite $u_p$ et $u_q$ est très petit  (autrement dit $|u_p-u_q|$ est tres petite). En termes mathématiques:\begin{align*}\forall \varepsilon > 0,\;\exists N\in\mathbb{N}\;\text{tel que}\;(\forall p,q\in\mathbb{N},\; p,q>N \;\Longrightarrow\; |u_p-u_q| < \varepsilon.)\end{align*}

Proposition: Une suite de nombres réels $(u_n)_n$ est de Cauchy si et seulement si elle est convergente vers un élément $ell\in\mathbb{R}$.

Ce résultat est un critère important pour montrer la convergence des suites de nombres réels, surtout si la suite n’est pas monotone.

Ce résultat reste-t-il valable si l’on remplace l’ensemble de base $\mathbb{R}$ par l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$. La réponse est non. En effet, il existe un exemple de suite rationnelle $(u_n)\subset \mathbb{Q}$ définie par \begin{align*}u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\qquad n\in\mathbb{N}\end{align*}qui est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$, mais elle converge vers $ell\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.

Relation entre les suites de Cauchy et les suites récurrentes

 

Exercices sur les relations d’équivalence

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Nous proposons des exercices sur les relations d’équivalence, un sujet fondamental en mathématiques. Ces exercices pratiques vous guideront à travers les nuances et les applications concrètes des relations d’equivalence. En explorant ces exercices, vous développerez une compréhension solide de la manière dont les relations d’équivalence fonctionnent et comment elles peuvent être utilisées pour classer et analyser les éléments d’un ensemble.

Nous rappelons d’une relations d’équivalence est un relation binaire qui satisfait trois propriétés cruciales : réflexivité, symétrie et transitivité.

Une selection d’exercices sur les relations d’équivalence

Exercice 1: ⭐⭐☆☆☆ Soit $E=\mathbb{R}$. On considère la relation binaire \begin{align*} x\mathcal{R}y \Longleftrightarrow |x-y|\le \frac{1}{2}.\end{align*} Est ce que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence?

Il est bien claire que la relation $\mathcal{R}$ est réflexive et symétrique. Cependant $\mathcal{R}$ n’est pas transitive sur $\mathbb{R}$. En effet, on prend $x=\frac{1}{4}$ , $y=\frac{1}{2}$ et $z=1$. On a $|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{4}\mathcal{R}\frac{1}{2}$. De plus $|\frac{1}{2}-1|=\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{2}\mathcal{R}1$. Mais $|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$. Donc $\frac{1}{4}$ n’est pas en relation avec $1$. Donc cette relation n’est pas transitive. Ainsi elle n’est pas une relation d’équivalence.

Exercice 2: ⭐⭐☆☆☆ Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble de suites de nombres réels. On définit une relation binaire sur $\mathcal{S}$ par \begin{align*} (x_n)_n \mathcal{R} (y_n)_n \Longleftrightarrow x_n-y_n \to 0 \quad (n\to+\infty).\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’equivalence sur $\mathcal{S}$.

Soient trois suites $(x_n), (y_n)$ et $(z_n)$ dans $\mathcal{S}$. Comme la suite nulle tend vers $0$ a l’infini, alors toutes suites est en relation avec elle même, c’est a dire $(x_n)\mathcal{R}(x_n)$, d’ou $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, comme $x_n-y_n=-(y_n-x_n)$, alors $\mathcal{R}$ est aussi symétrique. Finalement, si $(x_n)\mathcal{R}(y_n)$ et $(y_n)\mathcal{R}(z_n)$, alors $x_n-y_n\to 0$ et $y_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Mais on peut aussi écrire \begin{align*} x_n-z_n= (x_n-y_n)+(y_n-z_n). \end{align*}Ceci montre que $x_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$ et donc $\mathcal{R}$ est transitive. Ainsi $\mathcal{R}$ est une relations d’équivalence sur $\mathcal{S}$. Remarquons que la classe de la suite nulle $(0)_n$ sont les suites qui tendent vers zéro. Par exemple $\left(\frac{1}{n}\right)_n\in {\rm cl}((0)_n)$.

Exercice 3: ⭐⭐☆☆☆ Soit $E=\mathbb{Z}$ et considérons la relation \begin{align*} p\mathcal{R} q \Longleftrightarrow\; p-q \;\text{divise}\; 2.\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence

Comme $p-p=0$ divise $2$ alors la relation $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, si $p\mathcal{R} q$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $p-q=2k,$ et donc $q-p=2(-k)$. Ceci implique que $q\mathcal{R} p$. D’où la symétrie. Soit maintenant $p,q$ et $r$ des nombres relatifs tels que $p\mathcal{R} q$ et $q\mathcal{R} r$. Ce qui signifie que $p-q$ divise $2$ et $q-r$ divise $2$. Donc la somme $(p-q)+(q-r)=p-r$ divise $2$. Donc la relation est aussi transitive. Ce qui donne une relation d’équivalence. Clairement, la classe d’équivalence de $0$ est l’ensemble de nombres relatifs pair: $\overline{0}=2\mathbb{Z}$. De plus, la classe d’équivalence de $1$ est l’ensemble de nombres relatifs impair: $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$. Ceci implique que \begin{align*}\mathbb{Z}/\mathcal{R}=\left\{ \overline{0},\overline{1}\right\}.\end{align*} Cette ensemble se note aussi par \begin{align*}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.\end{align*}

Exercice 4: ⭐☆☆☆☆ Montrer que la relation binaire \begin{align*}x,y\in\mathbb{R},\quad x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow \cos^2(x)+\sin^2(y)=1\end{align*} est une relation d’equivalence sur $\mathbb{R}$.

Comme pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1,$ alors $x\mathcal{R}x,$ c’est la réflexivité de la relation. Soit $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$, c-a-d $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$. Donc $(1-\sin^2(x))+(1-\cos^2(y))=1$. Ce qui donne $\cos^2(y)+\sin^2(x)=1$, et donc $y\mathcal{R}x$. La relation est donc symétrique. Enfin soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$. On a alors $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$ et $\cos^2(y)+\sin^2(z)=1$. En fait la somme des deux cotes des ces équations, on trouve $\cos^2(x)+(\sin^2(y)+\cos^2(y))+\sin^2(y)=2$, ce qui implique $\cos^2(x)+\sin^2(z)=1$. C’est la transitivité de la relations. Conclusion $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

Exercice 5: ⭐⭐☆☆☆ On définit une relation binaire sur l’ensemble de nombres complexes $\mathbb{C}$ par \begin{align*}z,z’\in\mathbb{C},\quad z \mathcal{R} z’ \Longleftrightarrow |z|=|z’|.\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$.

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ on a $|z|=|z|$, donc $z\mathcal{R}z,$ d’ou la réflexivité de la relation. D’autre part, soient $z,z’\in\mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’,$ c-a-d $|z|=|z’|$. Alors on a aussi $|z’|=|z|$, ce qui signifie que $z’\mathcal{R}z,$ c’est la symétrie de $\mathcal{R}$. Pour la transitivité, soient $z,z’,\ddot{z}\in \mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’$ et $z’\mathcal{R}\ddot{z}$. Donc $|z|=|z’|$ et $|z’|=|\ddot{z}|$. Par suite $|z|=|\ddot{z}|$, ainsi $z\mathcal{R}\ddot{z}$. Conclusion, $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$. La classe d’équivalence d’un nombre complexe $z$ par cette relation est donnée par \begin{align*} {\rm cl}(z)=\{z’\in\mathbb{C}: |z|=|z’|\}=C(0,|z|),\end{align*} avec $C(0,|z|)$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $|z|$. Donc l’ensemble quotient de $\mathbb{C}$ par cette relation est \begin{align*} \mathbb{C}/\mathcal{R}=\{{\rm cl}(z):z\in\mathbb{C}\}=\bigcup_{z\in\mathbb{C}} C(0,|z|).\end{align*}

Exercice 6: ⭐⭐☆☆☆ Soit la relation suivante: $$ x,y\in\mathbb{R},\; xRy \Longleftrightarrow xe^y=ye^x.$$ Montrer que $R$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$. Étudier les classes des éléments $x$ modulo $R$.

$\bullet$ Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $xe^x=xe^x$, donc $xRx$. ce qui implique que la relation $R$ est réflexive. Maintenant, soit $x,y\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$. On a alors $xe^y=ye^x$, ou bien encore $ye^x=xe^y,$ et donc $yRx$. Ainsi $R$ est symétrique. Enfin, soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$ et $yRz$. En particulier, $xe^y=ye^x$ et $ye^z=ze^y$. Ce qui donne $$\frac{x}{e^x}=\frac{y}{e^y}=\frac{z}{e^z}.$$ Par suite $xe^z=ze^x$, ce qui traduit $xRz$. C’est la transitivité de la relation $R$. Conclusion, $R$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

$\bullet$ On note par $\overline{x}$ la classe d’équivalence de $x$ modulo $R$. Maintenant, si on pose $\psi(s)=\frac{s}{e^s}$, alors \begin{align*} \overline{x}&=\{y\in \mathbb{R}: yRx\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: ye^x=xe^y\} \cr & =\{y\in \mathbb{R}: \frac{y}{e^y}=\frac{x}{e^x}\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: \psi(y)=\psi(x)\}.\end{align*} Ainsi $$ \overline{x}=\psi^{-1}\{\psi(x)\}.$$

Relation d’équivalence sur l’ensemble des parties

Exercice 7: ⭐⭐⭐☆☆ Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$. On definit une relation sur $\mathcal{P}(E)$ par $$ X\mathscr{R}Y \Longleftrightarrow A\cup X=A\cup Y.$$

  1. Montrer que $\mathscr{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
  2. Déterminer la classe d’équivalence d’un élément $X\in \mathcal{P}(E)$.

  1. Il est simple de voir que la relation $\mathscr{R}$ est réfexive, symétrique et transitive. Donc c’est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
  2. Soit $X\in \mathcal{P}(E)$ et trouvons la classe de $X$, ${\rm Cl}(X)$, par rapport à $\mathscr{R}$. Soit $Y\in {\rm Cl}(X)$. Donc $A\cup Y=X\cup A$. Soit $y\in (Y\setminus A)\subset A\cup Y= X\cup A$. Donc $y\in X$ et $y\notin A$. Cela implique $(Y\setminus A)\subset (X\setminus A)$, Par symétrie nous avons aussi $(X\setminus A)\subset (Y\setminus A)$. Donc $Y\setminus A= X\setminus A$. Maintenant, remarquons que $Y=(X\setminus A)\cup (Y\cap A)=(Y\setminus A)\cup (Y\cap A)$. On pose $B= Y\cap A\in\mathcal{P}(A)$, Donc on peut ecrire $$ Y=(X\setminus A)\cup B,\quad B\in\mathcal{P}(A).$$ Inversement, on suppose que $Y= (X\setminus A)\cup B$ avec $B\in\mathcal{P}(A)$ On a \begin{align*} Y\cup A&=(X\setminus A)\cup (B\cup A)\cr &= (X\cap \overline{A})\cup A\cr & =X\cap A.\end{align*} Donc $Y\in {\rm Cl}(X)$. Conclusion $$ {\rm Cl}(X)=\{(X\setminus A)\cup B,\;B\in \mathcal{P}(A)\}.$$

Une relation d’équivalence définie sur un Groupe

Exercice 8: ⭐☆☆☆☆ Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de \(G\). Définissons une relation \(R\) sur \(G\) en déclarant \(a R b\) si et seulement si \(a^{-1}b \in H\), où \(a^{-1}\) est l’inverse de \(a\) dans \(G\). Montrez que \(R\) est une relation d’équivalence sur \(G\). En outre, montrez que les classes d’équivalence forment une partition de \(G\).

Réflexivité : Pour tout élément \(a\) de \(G\), \(a^{-1}a = e\) (l’élément neutre) appartient à \(H\), donc \(a R a\) est vrai.

Symétrie : Si \(a R b\), alors \(a^{-1}b \in H\), ce qui implique \((a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H\). Par conséquent, \(b R a\) est vrai.

Transitivité : Si \(a R b\) et \(b R c\), alors \(a^{-1}b \in H\) et \(b^{-1}c \in H\). Par la propriété des groupes, \((a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H\), ce qui implique \(a R c\) est vrai.

La relation \(R\) satisfait les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, ce qui en fait une relation d’équivalence sur \(G\).

Classes d’Équivalence Les classes d’équivalence sont déterminées par les éléments de \(G\) qui sont reliés par la relation \(R\). Pour tout élément \(a\) de \(G\), la classe d’équivalence de \(a\) est l’ensemble des éléments \(b\) tels que \(a R b\), c’est-à-dire \(a^{-1}b \in H\). Ces classes regroupent les éléments de \(G\) qui partagent une propriété commune liée à \(H\). On a \begin{align*} x\in {\rm Cl}(a) \Longleftrightarrow a R x \Longleftrightarrow a^{-1} x\in H.\end{align*} Ainsi ${\rm Cl}(a)=aH$.

Quelques definitions

Soit $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{R}$ une relation binaire sur $E$. Alors on a les définitions suivantes:

  1. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si pour tout $x\in E$ on a $x\mathcal{R} x$ (c’est a dire $x$ est en relation avec lui même)
  2. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si: pour tout $x,y\in E$ on a $x\mathcal{R}y$ si et seulement si $y\mathcal{R}x$.
  3. $\mathcal{R}$ est dite transitive si: Pour tout $x,y,z\in E$, si $x\mathcal{R}y$ et $yzmathcal{R}x$ alors $x\mathcal{R}z$.
  4. $\mathcal{R}$ est dite totale si: pour tout $x,y\in E$ on a ou bien $x\mathcal{R}y$ ou bien $y\mathcal{R}x$.
  5. $\mathcal{R}$ est dite une relation d’équivalence sur $E$ si $\mathcal{R}$ est a la fois réflexive, symétrique est transitive. Dans ce cas, l’ensembe \begin{align*} \{y\in E: x\mathcal{R} y\}\end{align*} est dite la classe d’equivalence de $x$ et se note ${\rm cl}(x)$ ou $\overline{x}$.
  6. Ensemble quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence On note l’ensemble des classe d’équivalences des éléments de $E$ par une relation d’équivalence $\mathcal{R}$ sur $E$ par: \begin{align*}E/\mathcal{R}:=\{\overline{x}: x\in E\}.\end{align*}

Limites de fonctions pour bac S

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On propose résume de cours et exercices corriges sur les limites de fonctions pour bac S, baccalauréat Scientifique. Savoir calculer une limite d’une fonction est crucial dans l’étude de sa courbe ou sa trajectoire.

Notion de limites de fonctions pour bac S 

Soit $f:D\to \mathbb{R}$ une fonction avec $D\subset \mathbb{R}$ est le domaine de définition de $f$. Si un élément $a\in D,$ alors on a pas besoin de calculer la limite car $f$ est bien définit en $a$, il suffit de prendre l’image $f(a)$. Par exemple si $f(x)=\frac{1}{x^2}$ alors $D=\mathbb{R}^\ast$. Si on prend $a=1$, alors $a\in D$ et on a $f(a)=1$. Mais si on prend $a=0$, on a $0\not\in D$. Dans ce cas on peut pas calculer directement l’image de $0$. ce qu’on peut faire dans ce cas et juste savoir qui se que se passe au point qui sont très proche de $0$. C’est a dire savoir le comportement de la fonction autour du point $0$. De la même façon $\pm\infty\notin D$, donc il faut juste comprendre ce qui se passe juste au voisinage de $\pm\infty\notin D$. C’est la notion de limite. Dans le paragraphe suivant on vous donne une définition précise.

Définition de la limite en un point

On suppose qu’on a une fonction $f:D\to \mathbb{R}$ avec $D$ c’est de domaine de définition de $f$.

  1. Limite finie en un point fini Soit $a$ un nombre réel tel que $a\notin D$ et $\ell in\mathbb{R}$ (donc $ell\neq \pm\infty$). On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ et on écrit $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un autre intervalle très petit $I$ centre en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)\in J$ pour tout $x\in I\cap D$.
  2. limite infini en un point fini– On suppose que $D=[b,+\infty[$ avec $b\in\mathbb{R}$, $f:D\to \mathbb{R}$ et $a\notin \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ est en écrit $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ si pour tout $A>0$ (assez grand,) il existe un intervalle très petit centré en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in I$.
    – On suppose que $D=]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb{R}$, $f:D\to \mathbb{R}$ et $a\notin \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ est en écrit $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ si pour tout $A>0$ (assez grand,) in existe un intervalle très petit centré en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)<-A$ pour tout $x\in I$.

Exercice: En utilisant la définition, montrer que \begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0} \frac{-1}{x^4}=-\infty.\end{align*}

Solution: Déjà le domaine de définition de la fonction $f(x)=\frac{1}{x^2}$ est $D=\mathbb{R}^*$. Soit maintenant $A>0$ assez grand et $x\in D$. Pour que $f(x)< A$ il suffit que $x^2<\frac{1}{A}$ il suffit que $|x|<\frac{1}{\sqrt{A}}$. D’autre part, si on prend $\alpha:=\frac{1}{\sqrt{A}}$, alors pour tout $x\in I:=]-\alpha,\alpha[$ (intervalle centré en $a=0$), on a $|x|<\alpha$. Ce qui donne $x^2<\frac{1}{A}$, ce qui implique aussi $\frac{1}{x^2}>A$. Donc d’après la définition on a le résultat demander.

Définition de la limite a l’infini

Dans cette partie on cherche le comportement d’une fonction $f$ en $\pm\infty$.

Limite en $+\infty$: Ici on suppose que $f:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ et $\ell\in \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend $+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un réel assez grand $A>0$ tel que $f(x)\in J$ dés que $x>A$.

Limite en $-\infty$: Ici on suppose que $f:]-\infty,b]\to \mathbb{R}$ et $\ell\in \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend $+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un réel assez grand $A>0$ tel que $f(x)\in J$ dés que $x<-A$.

Exercice: Montrer que \begin{align*} \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.\end{align*} la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ est bien définie sur $D=\mathbb{R}^\ast$. Soit $\varepsilon >0$ très petit. Comme on souhaite tendre $x$ vers $+\infty$, donc on peut supposer que $x>0$. Ainsi pour que $|f(x)|<\varepsilon$ il faut que $\frac{1}{x}=|\frac{1}{x}|<\varepsilon$. C’est a dire que $x>\frac{1}{\varepsilon}$. On choisi alors $A=\frac{1}{\varepsilon}$. Donc pour tout $x>A$ on a $|f(x)|<\varepsilon$. Ce qui implique que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Limite égale a $\pm\infty$ en $+\infty$: Soit $f:[b,+\infty[$ une fonction. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ si pour tout $A>0$ assez grand, il existe $B>0$ assez grand tel que $x>B$ implique $f(x)>A$ (cela signifie que pour toute valeur assez grande $x$, son image $f(x)$ reste aussi assez grande).

Par définition, $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x\to+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ si pour tout $A>0$ assez grand, il existe $B>0$ assez grand tel que $x>B$ implique $f(x)<-A$ (cela signifie que pour toute valeur assez grande $x$, son image $f(x)$ reste aussi assez grande).

Exercice: Soit $n\in \mathbb{N}^\ast$ et on pose $f(x)=x^n$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Calculer les limite \begin{align*}\lim_{x\to +\infty}x^n,\qquad \lim_{x\to -\infty}x^n.\end{align*} – En $+\infty$. Soit $A>0$ et $x>0$ tels que $x^n>A.$ Donc $x> A^{\frac{1}{n}}$. On prend $B=A^{\frac{1}{n}}$. Ainsi si $x>B$ alors $x^n>A.$ Ceci implique que \begin{align*}\lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty.\end{align*} – En $-\infty$. On a deux cas:

$\bullet$ Si $n$ est pair, alors d’après le calcul en faut on a \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n= \lim_{-x\to +\infty} (-x)^n=+\infty.\end{align*}$\bullet$ Maintenant le cas $n$ impair, par exemple $n=2m+1$: Soit $A>0$ et $x<0$ tels que $x^n<-B$, donc on a $(-x) x^{2m}>A,$ ce qui implique aussi $(-x)^n>A$ (car $x^{2m}=(-x)^{2m}$). Donc $-x>A^{\frac{1}{n}}$. On prend alors $B=A^{\frac{1}{n}}$. Ainsi si $x< -B,$ on a $x^n<-A$. Par suite \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n=-\infty.\end{align*} Comme conclusion on peut écrire \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n=\begin{cases}+\infty,& n \;\text{pair},\cr -\infty,& n\;\text{impair}.\end{cases}\end{align*}

Exercices corrigés sur les limites de fonctions

Pour une sélection intéressante sur les limites de fonctions merci de consule la page d’exercices corrigés sur les fonctions réelles.

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