Les fonctions lipschitziennes occupent une place centrale dans l’étude des propriétés des fonctions réelles. Leur caractère régulier et contrôlé les rend essentielles pour de nombreuses applications en mathématiques et dans divers domaines scientifiques. Dans cet article, nous explorerons en profondeur ce concept clé et comprendrons comment les fonctions lipschitziennes lient douceur et stabilité. Ces fonctions sont dues à Rudolf Lipschitz.
Introduction aux Fonctions Lipschitziennes
Les fonctions lipschitziennes sont une classe de fonctions réelles qui présentent une variation contrôlée entre leurs valeurs.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une $f:I\to \mathbb{R}$ est dite $\gamma$-lipschitzienne sur $I$ si il existe un réel $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma\; |x-y|,\quad\forall x,y\in I.\end{align*} Si de plus on a $\gamma\in ]0,1[$, alors $f$ est dite une fonction contractante, ou une contraction.
Cette inégalité exprime que la différence entre les valeurs de la fonction ne peut pas augmenter trop rapidement par rapport à la distance entre les points.
Propriétés et Exemples
Les fonctions lipschitziennes possèdent des propriétés remarquables. Par exemple, toute fonction lipschitzienne est uniformément continue, ce qui garantit une régularité en douceur. De plus, la composition de fonctions lipschitziennes reste lipschitzienne.
Exemple 1: La fonction racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ est Lipschitzienne sur tout intervalle de la forme $[\beta,+\infty[$ avec $\beta>0$.
Soient $x,y\in [\beta,+\infty[$. Alors on peut écrire $$ |f(x)-f(y)|=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}\;|x-y|.$$ Comme $\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge 2\sqrt{\beta}$. Alors $$ |f(x)-f(y)| \le \frac{1}{2\sqrt{\beta}} |x-y|.$$
Exemple 2: La fonction sinus $x\mapsto \sin(x)$ est Lipschitzienne sur tout $\mathbb{R}$.
La fonction sinus et continue et différentiable sur $\mathbb{R}$. On peut donc appliquer le théorème des accroissements fini à la fonction sinus sur tout intervalle compact de $\mathbb{R}$. Soient $x,y\in \mathbb{R}$, il existe un $c$ entre $x$ et $y$ tel que $$ \sin(x)-\sin(y)=\cos(c) (x-y).$$ Le résultat découle du fait que $|\cos(c)|\le 1$.
Exercices sur les fonctions Lipschitziennes
Exercice 1: Montrer que les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues.
Par hypothèse, il existe $\gamma>0$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le \gamma\; |x-y|,\quad\forall x,y\in I.\end{align*} Soit $\varepsilon>0$ et on pose $\alpha:=\frac{\varepsilon}{\gamma}$. Soit alors $x,y\in I$ tels que $|x-y|<\alpha$. Donc $\gamma |x-y|<\varepsilon$. Et par suite $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Ce qu'il fallait démontrer.
Exercice 2: Soit $K$ un ensemble de $\mathbb{R}$ et $f:K\to\mathbb{R}$.
- On suppose que la fonction $f$ dérivables sur $I$ telle que il existe $M>0$ avec $|f'(t)|\le M$ pour tout $t\in K$ (c’est a dire $f’$ est bornée sur $K$). Montrer que $f$ est une fonction lipschitzienne sur $K$.
- On suppose que $K$ est compact et que $f$ est de classe $C^1$ sur $K$ ($f\in C^1(K)$). Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $K$.
- Soit $x,y\in K$. On applique le théorème des accroissements finis a $f$ sur l intervalle d’extimités $x$ et $y$. Il existe donc $c$ strictement entre $x$ et $y$ tel que $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$. Donc \begin{align*} |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le M\; |x-y|.\end{align*}
- Comme $f\in C^1(K)$ alors $f’$ est continue sur le compact $K$. Donc $f’$ est bornée sur $K$. Donc $f$ est lipschitzienne sur $K$ d’après la question 1.
Lipschitz dans le cadre vectoriel
La definition des fonctions lipschtziennes dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ reste aussi vrais le cadre d’un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$, il suffit de remplacer dans la définition la valeur absolu $|\cdot|$ par la norme $\|\cdot\|$.
Opérateur intégral
Exercice 3: Soient $a,\in\mathbb{R}$ avec $b > a > 0$ et soit l’espace $\mathscr{C}([a,b])$ muni de la norme uniforme $\|f\|_\infty:=\sup_{t\in [a,b]}|f(t)|$. Soit l’application $T: \mathscr{C}([a,b])\to \mathbb{R}$ définie par \begin{align*} T(f)=\int^b_a \sin(f(t))dt,\qquad f\in \mathscr{C}([a,b]).\end{align*} Montrer que $f$ est une application lipschtizienne.
Rappelons tout d’abord que la fonction sinus $x\mapsto \sin(x)$ est une fonction Lipschtzienne sur $R$. Plus précisément nous avons $|\sin(x)-\sin(y)|\le |x-y|$ pour tout $x,y\in\mathbb{R}$. Maintenanat, soient $f,g\in \mathscr{C}([a,b]),$ alors \begin{align*}|T(f)-T(g)|&= \left| \int^b_a (\sin(f(t))-\sin(g(t)))dt\right|\cr & \le \int^b_a |\sin(f(t))-\sin(g(t))|dt \cr & \le \int^b_a |f(t)-g(t)|dt \cr & \le (b-a) \|f-g\|_\infty.\end{align*} Ainsi $T$ est $(b-a)$-lipschtzienne. Elle est contractante si de plus on a $b-a \in ]0,1[$.
Opérateurs sur les espaces de fonctions continues
Exercice 4: Soit $\mathscr{C}([0,1])$ muni de la norme uniforme $\|\cdot\|_\infty$ et $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction $\gamma_r$-lipschitzenne sur $[-r,r]$ pour tour $r\ge 0$. Soit maintenanat $(F(u))(s)=\varphi(u(s))$ pour tout $s\in [0,1]$ et tout $u\in \mathscr{C}([0,1])$. Montrer que $F$ est une application lipschitzienne sur toutes les boules fermées de $\mathscr{C}([0,1])$. Puis montrer que $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$.
Soient $u,v\in\overline{B}(0,r)$ pour un certain $r>0$. Donc $\|u\|_\infty,\|v\|_\infty\le r$, ce qui implique que $|u(s)|\le r$ et $|v(s)|\le r$ pour tout $s\in [0,1]$. Comme $\varphi$ est $\gamma_r$-lipschitzienne sur $[-r,r],$ alors pour tout $s\in [0,1]$,\begin{align*}|\varphi(u(s))-\varphi(v(s))|\le \gamma_r |u(s)-v(s)|\le \gamma_r\|u-v\|_\infty.\end{align*} Ceci montre que pour tout $s\in [0,1],$ on a $|(F(u))(s)-(F(v))(s)|\le \gamma_r \|u-v\|_\infty$. Ainsi \begin{align*} \|F(u)-F(v)\|_\infty\le \gamma_r \|u-v\|_\infty.\end{align*} Pour montrer que $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$, soit $(u_n)_n\subset X$ tel que $u_n\to u$ quand $n\to \infty$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$. On pose alors $R:=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|u_n\|_\infty$. Par passge a la limite on a aussi $\|u\|_\infty\le R$. Comme $F$ est $\gamma_R$-lipschitzienne, alors pour tout $n,$ on a \begin{align*} \|F(u)-F(u_n)\|_\infty\le \gamma_R \|u-u_n\|_\infty.\end{align*} Comme $\|u-u_n\|_\infty\to 0,$ alors $\|F(u)-F(u_n)\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Ainsi $F$ est continue sur $\mathscr{C}([0,1])$.
Exercice 5: Pour $\gamma>0$, on note par ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ l’espace des fonctions $\gamma$-lipschitziennes sur $[0,1]$. De plus on pose $\mathscr{D}_\gamma:=\{f\in \mathscr{C}^1([0,1]):\|f\|_\infty\le \gamma\}$.
- Montrer que $\mathscr{D}_\gamma\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)\subset \mathscr{C}([0,1])$.
- Montrer que ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ est fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$ et que $\mathscr{D}_\gamma$ n’est pas fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$.
- L’implication $\mathscr{D}_\gamma\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)$ découle facilement du théorème des accroissements finis (voir un exercice en haut de la page). L’autre implication est claire.
- Soit $(f_n)_n\subset {\rm Lip}_\gamma(0,1)$ and $f\in \mathscr{C}([0,1])$ tel que $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Comme la convergence uniforme de suites de fonctions implique la convergence simple, alors on a \begin{align*} |f(s)-f(t)|=\lim_{n\to\infty} |f_n(s)-f_n(t)|\le \gamma |s-t|,\quad \forall t,s\in [0,1].\end{align*} Donc $f\in {\rm Lip}_\gamma(0,1)$. Ainsi ${\rm Lip}_\gamma(0,1)$ est fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$. Soit maintenant $f_n(s)=\gamma\,\sqrt{(s-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^ast$ et $s\in [0,1]$. Il est facile de voir que $(f_n)_n\subset \mathscr{D}_\gamma$. De plus si $f(s)=\gamma |s-\frac{1}{2}|$ pour $s\in [0,1]$. Alors \begin{align*} |f_n(s)-f(s)|&=\gamma \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{(s-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}}+|s-\frac{1}{2}|}\cr & \le \frac{\gamma}{n} \frac{1}{|s-\frac{1}{2}|}\le \frac{2\gamma}{n}.\end{align*} Ceci implique que $\|f_n-f\|_\infty\le \frac{2\gamma}{n}$ et donc $f_n\to f$ dans $\mathscr{C}([0,1])$. Mais $f$ n’est pas dérivable en $\frac{1}{2}$. Donc $f\not\in \mathscr{D}_\gamma$. Par suite $\mathscr{D}_\gamma$ n’est pas fermé dans $\mathscr{C}([0,1])$.
