Plongez dans le monde captivant des mathématiques avec notre article dédié aux « Exercices sur les fonctions convexes ». Ces exercices sont bien plus que de simples défis mathématiques ; ils constituent une passerelle vers la compréhension profonde des propriétés et des applications des fonctions convexes. Que vous soyez passionné d’analyse mathématique ou que vous souhaitiez explorer les concepts clés de cette branche, ces exercices vous guideront à travers des problèmes complexes qui vous aideront à aiguiser vos compétences et à élargir vos horizons. Préparez-vous à explorer les nuances intrigantes des fonctions convexes à travers des problèmes soigneusement sélectionnés et à découvrir leur pertinence dans des domaines allant de l’optimisation à la modélisation.
Les fonctions convexes sont à la base des preuves d’inégalités en analyse mathématique. En fait, nous allons démontrer des résultats classiques sur la convexité des fonctions.
Les Fonctions Convexes : Fondements, Théorèmes et Applications
Les fonctions convexes jouent un rôle fondamental en mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques. Elles fournissent des outils puissants pour modéliser, analyser et résoudre une variété de problèmes. Dans cet section, nous explorerons en profondeur les concepts clés liés aux fonctions convexes, leurs définitions mathématiques, les théorèmes associés et leurs applications dans le domaine de l’analyse mathématique.
Définitions Mathématiques d’une fonction convexe
Une fonction $f:I\to \mathbb{R}$ est dite convexe sur un intervalle $I\subset{R},$ si pour tout couple de points $a,b\in I$ et tout $\lambda\in [0,1]$, l’inégalité suivante est vérifiée : $$ f(\lambda a+(1-\lambda)b)\le \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)).$$ La fonction $f$ est dite concave si la fonction $-f$ est convexe.
En d’autres termes, le segment entre les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ se trouve au-dessus du graphe de la fonction. Une fonction est dite strictement convexe si l’inégalité est stricte pour tous les $\lambda\in ]0,1[$ et $a\neq b$.
Théorèmes sur les Fonctions Convexes
- Inégalité des pentes: $f:I\to \mathbb{R}$ est convexe si et seulement si pour tout $a\in I$, la fonction $$ x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ est croissante sur $I\setminus\{a\}$, si et seulement si pour tout $a,b,c\in I,$ tels que $ c>b>a$, on a $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le \frac{f(c)-f(a)}{c-a} \le \frac{f(c)-f(b)}{c-b}.$$
- Inégalité de Jensen: $f:I\to \mathbb{R}$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\ge 2$ et tout $x_1,\cdots,x_n\in I$, et tout $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in [0,1]$ tel que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1,$ on a $$ f(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n)\le\lambda_1 f(x_1)+\cdots+\lambda_n f(x_n).$$
- Si $f$ est dérivable sur $I$, Alors $f$ est convexe $I$ si et seulement si sa fonction dérivée $f’$ est croissante. En particulier si $f$ est deux fois dérivable, alors elle convexe si et seule;ent si $\frac{d^2}{x^2} f(x)\ge 0$.
Sélection d’exercices sur les fonctions convexes
Exercices pratiques sur la convexité des fonctions
Exercice: Soit $f(x)=\sqrt{x}$ la fonction racince carrée définie sur $[0,+\infty[$.
- Montrer que la fonction $f$ est concave sur $]0,+\infty[$.
- Montrer que pour tout réel $x>0$ on a $\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}$.
- Comme $f$ est deux fois dérivable sur $]0,+\infty[$, il suffit de vérifier que sa dérivée seconde est négative. En effet, un clacul élémentaire montre que $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)=-\frac{1}{2x \sqrt{x}}\le 0,\quad \forall >0.$$
- On utilise le fait que $f$ est concave implique qu’elle est sous toutes ses tangentes. Nous allons donc déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$. En effet, elle est donnée par $$ y=f'(1)(x-1)+f(1)=\frac{x+1}{2}.$$ Comme $y\ge f(x)$ pour tout $x>0$, alors $\frac{x+1}{2}\ge f(x)=\sqrt{x}$ pour tout $x>0$,
Exercice: Montrer que pour tout $x\ge 1$, $$ (1+x)^n\ge 1+nx, \quad \forall n\ge 2.$$
IL est claire que $f$ est deux fois dérivable sur $[-1,+\infty[$ et que $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=n(n-1) (1+x)^{n-2}\ge 0$. Donc la fonction $f$ est convexe. Par suite, sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes. D’autre part, l’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$ est $y=f(0)+f'(0)(x-0)=1+nx$. Comme $y\le f(x)$ alors $1+nx\le (1+x)^n$ pour tout $x\ge -1$ et $n\ge 2$.
Preuve des inégalités a l’aide de la converxité
Exercice: Soit $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\subset\mathbb{R}^\ast_{+}$ et $\lambda_i\in [0,1]$ pour $i=1,\cdots,n$ de somme égale a $1$.
- Montrer que \begin{align*} \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i}\le \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i. \end{align*}
- Montrer que \begin{align*} \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n},\quad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}
- En utilisant la concavité de la fonction $\mapsto \ln(x)$ sur $]0,+\infty[$ (car sa dérivée seconde est négative), on a \begin{align*} \ln\left( \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i}\right)=\sum_{i=1}^n \lambda_i \ln(a_i)\le \ln(\sum_{i=1}^n\lambda_i a_i)\end{align*} Le résultat suit facilement en passant à la fonction exponentielle.
- Toujours par concavite de la fonction $x\mapsto\ln(x)$ et le fait que la somme de $\frac{1}{n}$ $n$ fois egale a $1$, on a \begin{align*} \ln\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)&\ge \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(a_i)\cr & = \ln\left( \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right).\end{align*} Par passage à la fonction exponentielle, résultat suit facilement.
Inégalité de Hölder
Exercice: Soient $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\subset\mathbb{R}^\ast_{+},$ $\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}\subset\mathbb{R}^\ast_{+}$ et $\alpha,\beta\in [0,1]$ de somme égale a un
- Montrer que pour tout $A$ et $B$ reels positifs et $p,q\in ]1,+\infty[$ tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$ on a \begin{align*} AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}.\end{align*}
- Soit $\alpha,\beta\in [0,1]$ de somme égale a un. Montrer que \begin{align*} \sum_{i=1}^n a_i^{\alpha}b_i^{\beta}\le \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^\alpha\;\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^\beta.\end{align*}
- Item 1
- Item 2
- Item 3
Inégalité de Jensen pour les intégrals
Exercice: Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux et $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction convexe continue. En utilisant les somme de Riemann, montrer que\begin{align*}\varphi\left(\frac{1}{b-a}\int^b_a f(t)dt\right)\le \frac{1}{b-a}\int^b_a \varphi(f(t))dt.\end{align*}
Soit $\{x_k=a+k\frac{b-a}{n}:k=0,1,\cdots,n\}$ une subdivision de l’intervalle $[a,b]$. Soit la somme de Riemann associée à $f,$\begin{align*}R_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k).\end{align*}Comme $f$ est continue par morceaux, alors d’après le cours sur les intégrales de Riemann on a $f$ est intégrale au sens de Riemann et\begin{align*}\int^b_a f(t)dt=\lim_{n\to+\infty} R_n.\end{align*}Puisque $\varphi$ est une fonction continue alors on a aussi\begin{align*}\varphi\left(\frac{1}{b-a}\int^b_a f(t)dt\right)&=\lim_{n\to+\infty} \varphi\left(\frac{R_n}{b-a}\right)\cr & =\lim_{n\to+\infty} \varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right).\end{align*}Comme $\varphi$ est convexe, alors\begin{align*}\varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right)\le \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(\varphi\circ f)(x_k).\end{align*}D’autre par le fait que la fonction $\varphi\circ f$ est continue par morceaux implique que\begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right)= \frac{1}{b-a}\int^b_a (\varphi\circ f)(t)dt.\end{align*}D’où le résultat.
Points d’inflexion
Les points d’inflexion sont des emplacements clés sur le graphe d’une courbe où la concavité change. En d’autres termes, ce sont les endroits où la courbure de la courbe passe d’être convexe (courbure orientée vers le haut) à concave (courbure orientée vers le bas), ou vice versa. Ces points jouent un rôle important dans l’analyse des fonctions, car ils indiquent des changements dans la manière dont la courbe se plie.
Lorsqu’une courbe a un point d’inflexion, il y a un changement de la direction dans laquelle la tangente à la courbe s’incline. Plus précisément, avant le point d’inflexion, la courbe est courbée de telle sorte que la tangente tourne dans un sens, tandis qu’après le point d’inflexion, la courbe est courbée de telle sorte que la tangente tourne dans le sens opposé. Les points d’inflexion ne sont pas nécessairement associés à des maxima ou minima locaux, contrairement aux points critiques.
L’identification des points d’inflexion est souvent réalisée en analysant la concavité de la fonction à l’aide de sa dérivée seconde. Si la dérivée seconde change de signe en un point donné, cela indique la présence potentielle d’un point d’inflexion à cet endroit. Cependant, il est important de noter que tous les points où la dérivée seconde s’annule ne sont pas nécessairement des points d’inflexion, car la dérivée seconde peut également s’annuler en présence de points d’extremum locaux.
En somme, les points d’inflexion fournissent un aperçu des changements subtils de la forme de la courbe et peuvent aider à mieux comprendre le comportement global d’une fonction. Ils sont essentiels pour caractériser les variations complexes dans les graphiques et pour analyser comment les courbes se plient et s’étirent le long de leurs domaines.
