Nous proposons des exercices corrigés sur des suites définies par des intégrales. Ce type de suites est utilisé pour calculer la somme de séries numériques.

Cette section peut compléter le chapitre sur les suites de nombres réels. Aussi ce genre de séquences intégrales entre-t-il dans le cadre des intégrales dépendant d’un paramètre. On peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue pour résoudre ce type de problème, mais ici on préfère la méthode classique pour que les élèves (élevés) des classes préparatoires en profitent.

Exercices corrigés sur les suites définies par des intégrales

Exercice: Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrables au sens de Riemann. Etudier la limite de suite suivante \begin{align*}u_n=\int^1_0 \frac{nf(x)}{n^2+x^2}dx,\quad n\in\mathbb{N}.\end{align*}

Solution: Comme $f$ est intégrale au sens de Riemann sur $[0,1],$ alors $f$ est bornée sur $[0,1]$. Donc il existe $M\ge 0$ tel que $|f(x)|\le M$ pour tout $x\in [0,1]$. Par suite on a\begin{align*}|u_n|&\le M \int^1_0 \frac{n}{n^2+x^2}dx\cr & = M \int^1_0 \frac{1}{n} \frac{dx}{1+\left(\frac{x}{n}\right)^2}dx \cr & = \left[\arctan\left(\frac{x}{n}\right)\right]^1_0=\arctan(1/n).\end{align*}Comme $\arctan(1/n)\to 0$ quand $n\to +\infty,$ on a $u_n\to 0$ quand $n\to+\infty$.

Exercice: Soit une fonction $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Montrer que \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} n\int^1_0 x^n f(x)dx=f(1).\end{align*} Solution: Tout d’abord on remarque que \begin{align*} n \int^1_0 f(1)x^ndx=\frac{f(1)n}{n+1}\to f(t)\quad (n\to\infty).\end{align*} On pose donc $g(x)=f(x)-f(1)$ pour tout $x\in [0,1]$. Il suffit donc de montrer que \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} n\int^1_0 x^n g(x)dx=0.\end{align*} En effet, comme $g(x)\to 0$ quand $x\to 1^-$, alors pour tout $\varepsilon>0,$ il exists $\beta\in ]0,1[$ tel que pour tout $x\in ]1-\beta,1[$ on a $|g(x)|\le \frac{\varepsilon}{2}$. On a alors, pour tout $n,$ \begin{align*} \left|n\int^1_{1-\beta} x^n g(x)dx\right|&\le \frac{\varepsilon}{2}n \int^1_{1-\beta}x^n\cr & =\frac{\varepsilon}{2} \frac{n+1}{n}\left(1- (1-\beta)^{n+1}\right)\cr & \le \frac{\varepsilon}{2}.\end{align*} D’autre par, comme $g$ est continue sur le compact $[0,1],$ alors $g$ est bornee sur $[0.1]$. Soit alors $M>0$ tel que $|g(x)|\le M,$ pour tout $x\in [0,1]$. On a alors \begin{align*} \left|n\int^{1-\beta}_0 x^n g(x)dx\right|\le Mn \int^{1-\beta}_0 x_n dx\le M(1-\beta)^{n+1}.\end{align*} Comme $1-\beta\in ]0,1[,$ alors $(1-\beta)^{n+1}\to 0$ quand $n\to +\infty$. Donc il existe $N\in\mathbb{N},$ pour tout $n,$ tel que \begin{align*} n\ge N \Longrightarrow \left|n\int^{1-\beta}_0 x^n g(x)dx\right|\le \frac{\varepsilon}{2}.\end{align*} Ainsi pour tout $n\ge N,$ on a \begin{align*} n\ge N \Longrightarrow \left|n\int^1_0 x^n g(x)dx\right|\le \varepsilon.\end{align*}

On propose quelques exercices sur les intégrales impropres (intégrales généralisées). En effet, on propose toutes les types de convergences, à savoir, convergence simple, et convergence absolue. On donne aussi des exercices sur la relation entre intégrales généralisées et séries numériques.

Une sélection d’exercices sur les intégrales impropres

Exercice:

1. Soint $a$ un réel, et $f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}$ une application uniformément continue sur $[a,+\infty[$, telle que l’intégrale \begin{align*}\int^{+\infty}_a f(x)dx\end{align*}soit convergente.
2. Application 1: Montrer que l’intégrale\begin{align*}\int^{+\infty}_0\sin(\sin(x))dx\end{align*}est divergente.
3. Application 2: Montrer que l’intégrale $x\mapsto \sin(x^2)$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}^+$.

Exercice:

1. Soit $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ admettant une limite en $+\infty$. Montrer que si $a>0,$\begin{align*}\int^{+\infty}_0 (f(t+a)-f(t))dt\end{align*}converge.
2. Calculer\begin{align*}\int^{+\infty}_0 (\arctan(t+a)-\arctan(t))dt.\end{align*}

Nous proposons des exercices sur les fonctions höldériennes. cette classe contient aussi les fonctions Lipschitziennes, donc les fonctions uniformément continues.

Les étudiants universitaires se retrouvent souvent face à des concepts complexes et fascinants qui nourrissent leur passion pour la discipline. Les fonctions Höldériennes, du nom du mathématicien allemand Otto Hölder, font partie de ces concepts captivants qui offrent une perspective unique sur la continuité et la régularité des fonctions réelles. Dans cet article, nous plongerons dans l’univers des fonctions Höldériennes, en démystifiant leur définition, leurs propriétés et leurs applications.

Introduction sur les fonctions höldériennes

Pour comprendre les fonctions Höldériennes, il est essentiel de revisiter les notions de continuité et de dérivabilité. Une fonction continue est une fonction qui ne présente pas de sauts brusques dans ses valeurs, tandis qu’une fonction dérivable possède une pente bien définie en chaque point. Les fonctions Höldériennes sont une généralisation de ces concepts.

Definition

Les fonctions $1$-höldérienne son exactement les fonctions Lipschitziennes.

Propriétés et Applications

Les fonctions Höldériennes ont des propriétés intéressantes. Par exemple :

1. Si $f$ est Höldérienne d’ordre $\alpha$, elle est également uniformément continue sur son intervalle de définition.
2. la composition de deux fonctions Höldériennes reste Höldérienne, ce qui offre une certaine stabilité sous composition.

Ces fonctions trouvent des applications dans divers domaines, tels que l’analyse numérique, la modélisation des phénomènes physiques et même la compression d’images. Les surfaces rugueuses et fractales peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions Höldériennes. En effet, les propriétés de ces fonctions permettent de capturer les irrégularités complexes de telles surfaces de manière élégante.

Sélection d’exercices sur les fonctions höldériennes

Aller Plus Loin

Pour les étudiants qui souhaitent approfondir leur compréhension des fonctions Höldériennes, explorer les preuves de leurs propriétés et découvrir des applications plus avancées pourrait être une excellente avenue. Les concepts liés aux espaces de Hölder, aux inégalités de Hölder et aux problèmes de régularité des équations aux dérivées partielles ouvrent la voie à des défis mathématiques passionnants.

En conclusion, les fonctions Höldériennes offrent une perspective riche sur la régularité des fonctions réelles. Leur généralisation des concepts de continuité et de dérivabilité les rendent captivantes pour les esprits mathématiques curieux. En explorant leurs propriétés et leurs applications, les étudiants peuvent se plonger dans un domaine fascinant qui transcende les limites de la continuité traditionnelle.

Biographie brève d’Otto Hölder : Pionnier des Mathématiques Modernes

Otto Hölder (1859-1937), mathématicien allemand éminent, a laissé une marque indélébile dans le paysage mathématique du XXe siècle. Diplômé de l’Université de Tübingen, son œuvre a gravité autour de domaines tels que l’analyse réelle, la géométrie et la théorie des nombres. Hölder est particulièrement connu pour les fonctions qui portent son nom, les fonctions Höldériennes. Ces fonctions, caractérisées par leur régularité mesurée par un ordre Hölder, ont des applications clés dans la modélisation fractale et l’analyse numérique.

En plus de ses contributions à la recherche, Hölder a joué un rôle important en tant qu’éducateur et éditeur. Il a influencé plusieurs générations de mathématiciens en tant que professeur à Erlangen, Leipzig et Göttingen. En tant que cofondateur du journal « Mathematische Annalen », il a contribué à promouvoir le partage des connaissances mathématiques.

Son héritage continue à prospérer grâce à ses découvertes révolutionnaires dans l’analyse mathématique et à ses contributions substantielles à la théorie des nombres. Otto Hölder demeure une figure clé dans le développement des mathématiques modernes, illustrant comment ses idées novatrices continuent de résonner à travers le temps.

Le programme de mathématiques spéciales, deuxième année des classes préparatoires, est très riche. Il contient une partie de l’algèbre générale, en particulier les anneaux et les corps; une autre partie sur l’algèbre linéaire notamment la réduction de l’endomorphisme; une bonne partie de l’analyse en particulier les espaces vectoriels standardisés et tous les types de séries; et enfin une section sur les probabilités.

Plongez dans le monde captivant des mathématiques avec notre article dédié aux « Exercices sur les fonctions convexes ». Ces exercices sont bien plus que de simples défis mathématiques ; ils constituent une passerelle vers la compréhension profonde des propriétés et des applications des fonctions convexes. Que vous soyez passionné d’analyse mathématique ou que vous souhaitiez explorer les concepts clés de cette branche, ces exercices vous guideront à travers des problèmes complexes qui vous aideront à aiguiser vos compétences et à élargir vos horizons. Préparez-vous à explorer les nuances intrigantes des fonctions convexes à travers des problèmes soigneusement sélectionnés et à découvrir leur pertinence dans des domaines allant de l’optimisation à la modélisation.

Les fonctions convexes sont à la base des preuves d’inégalités en analyse mathématique. En fait, nous allons démontrer des résultats classiques sur la convexité des fonctions.

Les Fonctions Convexes : Fondements, Théorèmes et Applications

Les fonctions convexes jouent un rôle fondamental en mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques. Elles fournissent des outils puissants pour modéliser, analyser et résoudre une variété de problèmes. Dans cet section, nous explorerons en profondeur les concepts clés liés aux fonctions convexes, leurs définitions mathématiques, les théorèmes associés et leurs applications dans le domaine de l’analyse mathématique.

Définitions Mathématiques d’une fonction convexe

En d’autres termes, le segment entre les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ se trouve au-dessus du graphe de la fonction. Une fonction est dite strictement convexe si l’inégalité est stricte pour tous les $\lambda\in ]0,1[$ et $a\neq b$.

Théorèmes sur les Fonctions Convexes

1. Inégalité des pentes: $f:I\to \mathbb{R}$ est convexe si et seulement si pour tout $a\in I$, la fonction $$ x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ est croissante sur $I\setminus\{a\}$, si et seulement si pour tout $a,b,c\in I,$ tels que $ c>b>a$, on a $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le \frac{f(c)-f(a)}{c-a} \le \frac{f(c)-f(b)}{c-b}.$$
2. Inégalité de Jensen: $f:I\to \mathbb{R}$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\ge 2$ et tout $x_1,\cdots,x_n\in I$, et tout $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in [0,1]$ tel que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1,$ on a $$ f(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n)\le\lambda_1 f(x_1)+\cdots+\lambda_n f(x_n).$$
3. Si $f$ est dérivable sur $I$, Alors $f$ est convexe $I$ si et seulement si sa fonction dérivée $f’$ est croissante. En particulier si $f$ est deux fois dérivable, alors elle convexe si et seule;ent si $\frac{d^2}{x^2} f(x)\ge 0$.

Sélection d’exercices sur les fonctions convexes

Exercices pratiques sur la convexité des fonctions

Preuve des inégalités a l’aide de la converxité

Inégalité de Hölder

Inégalité de Jensen pour les intégrals

Points d’inflexion

Les points d’inflexion sont des emplacements clés sur le graphe d’une courbe où la concavité change. En d’autres termes, ce sont les endroits où la courbure de la courbe passe d’être convexe (courbure orientée vers le haut) à concave (courbure orientée vers le bas), ou vice versa. Ces points jouent un rôle important dans l’analyse des fonctions, car ils indiquent des changements dans la manière dont la courbe se plie.

Lorsqu’une courbe a un point d’inflexion, il y a un changement de la direction dans laquelle la tangente à la courbe s’incline. Plus précisément, avant le point d’inflexion, la courbe est courbée de telle sorte que la tangente tourne dans un sens, tandis qu’après le point d’inflexion, la courbe est courbée de telle sorte que la tangente tourne dans le sens opposé. Les points d’inflexion ne sont pas nécessairement associés à des maxima ou minima locaux, contrairement aux points critiques.

L’identification des points d’inflexion est souvent réalisée en analysant la concavité de la fonction à l’aide de sa dérivée seconde. Si la dérivée seconde change de signe en un point donné, cela indique la présence potentielle d’un point d’inflexion à cet endroit. Cependant, il est important de noter que tous les points où la dérivée seconde s’annule ne sont pas nécessairement des points d’inflexion, car la dérivée seconde peut également s’annuler en présence de points d’extremum locaux.

En somme, les points d’inflexion fournissent un aperçu des changements subtils de la forme de la courbe et peuvent aider à mieux comprendre le comportement global d’une fonction. Ils sont essentiels pour caractériser les variations complexes dans les graphiques et pour analyser comment les courbes se plient et s’étirent le long de leurs domaines.

La topologie est une branche importante des mathématiques modernes. Des exercices corrigés de topologie des espaces vectoriels normés sont ensuite proposés pour Math spé (classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs) et également pour la licence Mathématiques. La topologie générale considère normalement les propriétés locales des espaces et est étroitement liée à l’analyse. Voici quelques exemples de questions typiques en topologie : Combien y a-t-il de trous dans un objet ? Comment définir les trous d’un tore ou d’une sphère ? Quelle est la limite d’un objet ? Un espace est-il connecté ? Est-ce que toute fonction continue de l’espace à elle-même a un point fixe ?

Une sélection d’exercice de topologie des espaces vectoriels normés

Équivalence des normes dans un espace vectoriel normé

Ici on propose des exercices sur une partie importante de la topologie des espaces vectoriels normés qui est l’équivalence des normes.

Exercice: Soit $E$ l’espace vectoriel des suites bornées $(u_n)_n$ une de $\mathbb{R}$ avec terme initial $u_0=0$. On pose \begin{align*}\|u\|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|u_n|,\quad\text{et}\quad N(u):=\sup_{n\ge 0} |u_{n+1}-u_n|.\end{align*}

1. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ sont deux normes sur $E$.
2. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ ne sont pas équivalentes.

Solution: 1- Soit la suite réelle $(u_n)$ dans $E$ telle que $\|u\|_\infty=0$. Comme pour tout $n\ge 0$ $|u_n|\le \|u\|_\infty,$ on a $|u_0|=0$ pour tout $n\ge 0,$ et donc $u=0$ (la suite nulle). De même Si $N(u)=0$ alors on a $|u_{n+1}-u_n|=0$ pour tout $nge 0$. Donc $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n\ge 0,$. Ainsi $u$ est la suite constante, donc $u_n=u_0=0$ pour tout $n$. Soit $\lambda\in\mathbb{R}$, alors\begin{align*}&\|\lambda u\|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|\lambda u_n|=|\lambda|\sup_{n\ge 0}|u_n|=|\lambda|\|u\|_\infty\cr
& N(\lambda u):=\sup_{n\ge 0} |\lambda(u_{n+1}-u_n)|=|\lambda|N(u).\end{align*} Soient $u=(u_n)$ et $v=(v_n)$ deux suites dans $E$. Alors\begin{align*}|u_n+v_n|\le |u_n|+|v_n|\le \|u\|_\infty+\|u\|_\infty,\qquad \forall n\ge 0.\end{align*} Ceci montrer que $ \|u\|_\infty+\|u\|_\infty$ est un majorant de $\{|u_n+v_n|:n\ge 0\}$. Comme le $\sup$ est le plus petit des majorants, on a $ |u+v|_\infty\le \|u\|_\infty+\|u\|_\infty$. De la même façon, \begin{align*}|(u_{n+1}+v_{n+1})-(u_n+v_n)|&= |(u_{n+1}-u_n)+v_{n+1}-v_n)|\cr & \le
|(u_{n+1}-u_n)|+|v_{n+1}-v_n)|\cr & \le N(u)+N(v).\end{align*}Donc $N(u+v)\le N(u)+N(v)$. Conclusion $|\cdot|_\infty$ et $N(\cdot)$ dont deux normes sur $E$.

2- Pour tout $u=(u_n)$ dans $E,$ on a \begin{align*}|u_{n+1}-u_n|\le |u_{n+1}|+|u_n|\le 2\|u\|_\infty.\end{align*}Ce qui implique que $N(u)\le 2 \|u\|_\infty$. Donc $|\cdot|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$. Supposons que il existe $\kappa>0$ tel que $\|u\|_\infty\le \kappa N(u)$ pour tout $u\in E$. On prend la suite $u_n=n$. On a $N(u)=1$ et $\|u\|_\infty=+\infty$, absurde. Donc les deux normes $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ ne sont pas équivalentes.

Exercice: Soit l’espace vectoriel normé $X=C([0,1])$ muni de la norme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$. Soit $w\in X$ tel que $w>0$ et on pose $\|f\|_w:=\|wf\|_\infty$. Montrer que les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_w$ sont équivalentes.

Solution: D’une part, il est facile de voir que $\|\cdot\|_w$ est une norme sur $X$. D’autre part, comme $0<w\in X,$ alors $\delta:=\inf_{s\in [0,1]} w(s)>0$. Donc pour tout $f\in X,$ on a \begin{align*} \delta |f(s)|\le w(s)|f(s)|\le \|w\|_\infty \|f\|_\infty,\quad \forall s\in [0,1].\end{align*} En prenant le supremum sur $s ∈ [0, 1]$, on en déduire l’équivalence de $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_w$.

Exercice: Soit l’espace vectoriel normé $X=C([0,1])$ muni de la norme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$. On definit une autre norme sur $X$ par \begin{align*}\|f\|_1=\int^1_0 |f(s)|ds.\end{align*} Montrer que les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_1$ ne sont pas équivalentes.

Solution: Vérifier que $\|\cdot\|_1$ est une norme est laissé au lecteur. De plus il est facile de voire que $\|f\|_1\le \|f\|_\infty$ pour tout $f\in X$, donc la norme $\|\cdot\|_\infty$ est plus fin que $\|\cdot\|_1$. Cependant, ces normes ne sont pas équivalentes. En fait, soit la suite de fonctions \begin{align*} f(s)=\begin{cases}1-ns,& 0\le s\le \frac{1}{n},\cr 0,& \frac{1}{n}\le s\le 1.\end{cases}\end{align*} Pour tout $n$ on a $f_n\in X$. De plus un simple calcul montre que $\|f_n\|_1=\frac{1}{2n}$ et $\|f_n\|_\infty=1$. Donc $f_n\to 0$ pour la norme $\|\cdot\|_1$ mais $f_n$ ne tend pas vers $0$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$. Ce qui implique que ces normes ne sont pas équivalentes.

Parties ouvertes et fermées dans un espace vectoriel normé

Dans la topologie des espaces vectoriels normés les parties ouvertes et fermées jouent un rôle important. Nous allons introduire des exemples de parties ouverte, des parties fermées et des parties qui ne sont ni ouvertes ni fermées.

Exercice: Soit $X:=\mathscr{C}([0,1])$ l’espace vectoriel normé des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme uniforme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$.

1.  Soit $Y:=\{f\in X: f(0)=0\}$. Montrer que $Y$ est fermé dans $X$.
2.  Soit $O:=\{f\in X: f(s)>0,\;\forall s\in [0,1]\}$. Montrer que $O$ est une ouvert dans $X$.
3. Montrer que $F:=\{f\in X: f(s)>0,\;\forall s\in [0,1]\}$  est fermé dans $X$.
4. Soit $D:=\{f\in X: f(0)>0\;\text{et}\;f(1)\ge 0\}$. Montrer que $D$ n’est ni ouvert ni fermé dans $X$.
5.  On considère $N=\{f\in\mathscr{C}^1([0,1]):\|f’\|_\infty<\infty\}$. Monter que $N$ n’est pas fermé dans $X$.

Solution: 1- Soit $(f_n)_n\subset Y$ et $f\in X$ tel que $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Donc $|f_n(0)-f(0)|\le \|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to 0$. Comme $f_n(0)=0$, alors on a aussi $f(0)=0$. Alors $f\in Y,$ et donc $Y$ est fermé dans $X$.

2- Soit $f\in O$ alors $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ et continue et positive. D’après le théorème de Borel-Heine la fonction $f$ atteint son minimum en un point $s_0\in [0,1]$, autrement dit $\min_{s\in [0,1]}f(s) = f(s_0):=r>0$. Soit $g\in X$ telle que $\|f-g\|_\infty<r$ (i.e. $g\in B(f,r)$). Alors pour tout $s\in [0,1]$ on a \begin{align*}g(s)=f(s)+g(s)-f(s)\ge r-\|f-g\|_\infty>0.\end{align*} Ce qui implique que $g\in O$. On a alors montrer que pour tout $f\in O$ il existe $r>0$ tel que $B(f,r)\subset O$. Ainsi $O$ est un ouvert de $X$.

3- Soit $(f_n)_n\subset F$ qui converge vers une fonction $f$ pour la norme uniforme $\|\cdot\|_\infty$. Donc $f$ est continue et $f_n(s)\to f(s)$ pour tout $s\in [0,1]$ quand $n\to\infty$. Comme $f_n(s)\ge 0$ pour tout $s$ et $s$, alors aussi la limite $f(s)\ge 0$. D’où $f\in F,$ et pa conséquent $F$ est un fermé de $X$.

4- $D$ n’est pas fermé, car la suite $f_n=\frac{1}{n}1_{[0,1]}\in D$ et $f_n\to 0\notin D$. D’autre part $D$ n’est pas ouvert, car son complémentaire $D^c$ n’est pas fermé. En effet la suite $g_n$ definie par $g_n(s)=1-(1+\frac{1}{n})$ n’appartient pas a $D$ ($g_n \in D^c$ pour tout $n$), mais $g_n\to (s\mapsto 1-s)\in D$. Donc $D^c$ n’est pas fermé, et donc $D$ n’est un ouvert de $X$.

5- Soit $(f_n)_n\subset N$ définie par \begin{align*}f_n(s)=\sqrt{\left(s-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{n}},\quad s\in [0,1],\quad n\ge 1.\end{align*} Il est facile de montrer que $f_n\to f$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty,$ avec $f(s)=|s-\frac{1}{2}|$. Mais $f\notin N$ car $f$ n’est pas dérivable en $\frac{1}{2}$. Donc $N$ n’est pas fermé  dans $X$.

Intérieur, fermeture, point adhérent, point d’accumulation, point isolé dans un espace vectoriel normé

Dans la topologie des espaces vectoriels normés, l’arête ou la frontière d’une partie est importante. Souvent dans le calcul des bornes, on se restreint aux points qui sont aux bords.

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $F$ convexe de $E$. Montrer que $\overline{F}$ est aussi convexe.

Solution: Soit $x,y\in \overline{F}$ et $t\in [0,1]$. Il existent deux suites $(x_n)_n\subset Y$ et $(y_n)_n\subset Y$ avec $x_n\to x,\; y_n\to y$. Comme $F$ est convexe, alors $tx_n+(1-t)y_n\in F$. De plus on a $$tx_n+(1-t)y_n\to tx+(1-t)y\quad (n\to\infty).$$ Donc  $tx+(1-t)y\in \overline{F}$. Ainsi $\overline{F}$ est convexe.

Exercice: Montrer que la frontière de l’ensembe des rationnels $\mathbb{Q}$ est égale a  $\mathbb{R},$ i.e. $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$.

Solution: Par définition de la frontière on a $\partial \mathbb{Q}=\overline{\mathbb{Q}}\backslash {\rm Int}(\mathbb{Q})$. Il faut remarquer que tout intervalle ouvert contient un irrationnel, donc aucun intervalle ouvert n’est contenu dans $\mathbb{Q}$. Par suite l’intérieur de $\mathbb{Q}$ est vide, i.e. ${\rm Int}(\mathbb{Q})=\emptyset$. Donc $\partial \mathbb{Q}=\overline{\mathbb{Q}}$. D’autre part on sait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (car pour tout $x\in\mathbb{R}$, la suite des rationnels $x_n=\frac{[nx]}{n^2}$ converge vers $x$ quand $n\to\infty$). Donc $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R},$ ce qui implique que $\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}$.

Exercice: Soit $(\mathscr{C}([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$ l’espace vectoriel normé des fonctions continues sur $[0,1]$. On note par $\mathscr{C}^k([0,1])$ l’espace des fonctions de classe $C^k$. Montrer que  $\mathscr{C}^k([0,1])$ est dense dans $\mathscr{C}([0,1])$, i.e. \begin{align*} \mathscr{C}([0,1])=\overline{\mathscr{C}^k([0,1])}^{\|\cdot\|_\infty}.\end{align*}

Solution: Soit $\mathscr{P}$ l’ensembe de tout les polynomes. Selon le théorème de Weierstrass $\mathscr{P}$ est dense dans $(\mathscr{C}([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$. D’autre part, comme $\mathscr{P}\subset \mathscr{C}^k([0,1]),$ alors \begin{align*} \mathscr{C}([0,1])=\overline{\mathscr{P}}^{\|\cdot\|_\infty}\subset \overline{\mathscr{C}^k([0,1])}^{\|\cdot\|_\infty}\subset \mathscr{C}([0,1]).\end{align*}