Dans cette section, vous trouverez de nombreux exercices corrigés sur les séries numériques. Les séries numériques, en tant que suites infinies de nombres ordonnés de manière spécifique, jouent un rôle fondamental en mathématiques, en sciences, ainsi que dans divers aspects de la vie quotidienne.
Paquet d’exercices corrigés sur les séries numériques
Cette section propose une série d’exercices corrigés sur les séries numériques, organisés selon différentes méthodes de convergence.
Utilisation de definition pour montrer le convergence d’une série
Par definition une série de term general $u_n$ est convergente si la suite des sommes partielles $S_n:=u_0+u_1+\cdots+u_n$ est une suite convergente. Voici quelques exemlpes d’applications.
Exercice 1: Etudier la convergence de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2-n}$ pour tout $n\ge 2$.
Il faut remarque que pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast$ on a\begin{align*}\frac{1}{k^2-k}=\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.\end{align*}Donc \begin{align*}S_n&=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\cr &= 1-\frac{1}{n} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}1.\end{align*}Donc la série de terme général $u_n$ est convergente est \begin{align*}\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2-n}=1.\end{align*}
Exercice 2: Soit $q\in\mathbb{R}$ tel que $|q| < 1$. Montrer que \begin{align*}&\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2},\cr &\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)q^{n-2}=\frac{2}{(1-q)^3}.\end{align*}
Soit $n$ une entier plus grand ou égale à $2$. Soit la fonction\begin{align*}f:\mathbb{R}\backslash\{1\}\to \mathbb{R},\quad f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n=\sum_{k=0}^n x^k.\end{align*}Cette fonction est dérivable. De plus on a\begin{align*}f(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},\qquad \forall x\in \mathbb{R}\backslash\{1\}.\end{align*} En dérivant cette égalité deux fois on trouve: pour tout $\mathbb{R}\backslash\{1\},$ \begin{align*}\sum_{k=1}^n k x^{k-1}&=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2},\cr \sum_{k=2}^n k (k-1) x^{k-2}&= \frac{-n(n-1)x^{n+1}+2(n^2-1)x^n-n(n+1)x^{n-1}+2}{(1-x)^3}.\end{align*}Soit maintenant $q\in ]-1,1[$ et prenant $x=q$ dans les égalités en haut. En ulilisant l’indication donnée dans cette exercice on obtient\begin{align*}&\lim_{n\to+\infty}(nq^{n+1}-(n+1)q^n+1)=1\cr &\lim_{n\to+\infty}(-n(n-1)q^{n+1}+2(n^2-1)q^n-n(n+1)q^{n-1}+2)=2.\end{align*}Il vient donc\begin{align*}\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n k q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2},\qquad \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=2}^n k (k-1) q^{k-2}=\frac{2}{(1-q)^3}.\end{align*}
Plus d’exercices corrigés sur les séries numériques.
Exercice 3: Soit $ (u_{n})_{n\ge 1} $ une suite de nombres réel positifs. On suppose que la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 u^2_n$$ est convergente. Montrer qu’il en est de même pour la série $ \sum u_{n} $.
Comme les termes de la suite $(u_n)$ sont positifs, alors la suite des sommes partielles$$S_N=\sum_{n=1}^N u_n,\qquad N\in\mathbb{N}^\ast,$$ est croissante. Donc pour que la suite $(S_n)$, est donc la série $\sum_{n\ge 1} u_n$ converge, il suffit que la suite $(S_n)$ soit bornée. En effet, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout entier $ N\ge 1 $ on obtient:\begin{align*}\left(S_N\right)^{2}&=\left(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}(n u_{n})\right)^{2}\cr &\leqslant \left(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}}\right)\left(\sum_{n=1}^{N} n^{2}u_{n}^{2}\right).\end{align*}Comme les séries suiventes sont convergente\begin{align*}M_1:=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty\quad\text{et}\quad M_2:=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}u_{n}^{2} < \infty,\end{align*} Alors \begin{align*}\big(S_N\big)^{2}\le M_1 M_2,\quad \forall N\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}Ce qui implique que la suite $(S_n)$ est majorée par $\sqrt{ M_1 M_2}$. Donc convergente.
Majoration : exercices corrigés sur les séries numériques
Rappel: si $0\le c_n \le a_n\le b_n$ pour tout $n$, alors:
- si $\sum_{n=0}^\infty b_n $ converge alors $\sum_{n=0}^\infty a_n $ converge.
- si $\sum_{n=0}^\infty c_n $ diverge alors $\sum_{n=0}^\infty a_n $ diverge.
Voici des exercices corrigés sur les séries numériques qui utilisent le concept de domination.
Exercice 4:Etudier la nature des séries suivantes: $$ u_n=\frac{n^3}{2^n}\sin(\frac{1}{n^3}),\; v_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n^2}-1},\; w_n=\frac{1}{n!}.$$
$\bullet$ On sait que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $|\sin(x)|\le |x|$. Ainsi pour tout $n\ge 1$, $$ |u_n|\le \frac{n^3}{2^n}\;\frac{1}{n^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ Donc par compaison avec la série géométrique, la série $\sum_{n} |u_n|$ est convergente, donc la série $\sum_n u_n$ est convergente.
$\bullet$ Pour tout $n\ge 2$ on a $v_n\ge 0$ et $\sqrt[3]{n^2}-1\le \sqrt[3]{n^2}$. Par ssuite, $$ v_n\ge \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n^2}}=\frac{1}{n^{\frac{1}{6}}}.$$ Comme la série de Rieman de terme général $\frac{1}{n^{\frac{1}{6}}}$ diverge, alors la série est $\sum_{n\ge 2} v_n$ est divergente.
$\bullet$ Pour tout $n\ge 2$ on a $$ n!=2\cdot 3\cdots n\ge 2\cdot 2\cdots 2=2^{n-1}.$$ Donc $w_n\le 2\frac{1}{2^n}$. Ainsi la série $\sum_{n\ge 0} w_n$ est convergente.
Exercice 5: Etudier selon le paramétre $x>0$, la série terme général $$ u_n=\frac{1}{x^n+\frac{1}{x^n}}.$$
$\bullet$ Si $x=1$ alors on a $u_n=\frac{1}{2}$ pour tout $n,$ est donc la série n’est pas convergente car son terme général ne tend pas vers $0$ (Remarque : Une condition essentielle pour la convergence des séries est que le terme général doit tendre vers zéro.)
$\bullet$ Si $x\in ]0,1[$ alors on utilise la mojoration suivante \begin{align*}0 < u_n < \frac{1}{\frac{1}{x^n}}=x^n.\end{align*}Comme la série géométrique de terme général $x^n$ est convergente, alors la série de terme général $u_n$ est convergente.
$\bullet$ Si $x\in ]1,+\infty[,$ on utilise la majoration suivante\begin{align*}0 < u_n < \frac{1}{x^n}=\left(\frac{1}{x}\right)^n.\end{align*}Comme $x> 1$ alors $0 < \frac{1}{x} < 1,$ est donc la série de terme général $\left(\frac{1}{x}\right)^n$ est convergente. Ainsi la série de terme général $u_n$ est convergente. Conclusion: la série est convergente si $x>0$ et $x\neq 1$.
Critère d’équivalence pour les séries
Rappel: si $a_n$ et $b_n$ ont le même signe et sont équivalents lorsque $n$ tend vers l’infini, les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ auront la même nature en termes de convergence ou de divergence. Dans la suite on propose des exercices corrigés sur les séries numériques qui utilisent ce critère de comparaison.
Exercice 6: Etudier la convergence des séries de termes generals: \begin{align*}&1.\; u_n=\ln\left(\frac{n^{2}+n+1}{n^{2}+n-1}\right) \cr & 2.\; u_n=\frac{1}{n+(-1)^{n}\sqrt{n}}\cr & 3.\; u_n=\ln\left(\frac{2}{\pi}\arctan\frac{n^{2}+1}{n}\right)\end{align*}
1. On remarque que pour tout entier $n\geq1$, la suite $u_n$ est bien définie. De plus, comme au voisinge de zero on a $\ln(1+x)=x+O(x),$ alors \begin{align*}u_n&=\ln\left(\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\right)\cr &=\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)\cr&\underset{n\rightarrow +\infty}{=}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)\cr&\underset{n\rightarrow +\infty}{=}\frac{2}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\end{align*}Comme la série de terme général $\frac{1}{n^{2}}$, $n\geq1$, converge (série de Riemann d’exposant $\alpha>1$), la série de terme général $u_{n}$ converge
2. Tout d’abord, il facile de voir que $u_n\ge 0$. De plus pour tout $n\ge 1$ on a $$ nu_n= \frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}.$$ D’autre part, on a $$ \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0\quad (n\to\infty).$$ Donc, $n u_n\to 1$ quand $n\to\infty$. Par suite, $u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{n}.$ Comme la série de terme général $\frac{1}{n},$ $n\geq2,$ diverge et est positive, la série de terme général $u_n$ diverge.
3. Dans un premier temps, nous allons decouvrire le signe de $u_n$. On sait que pour tout $x>0$, on a $0<\arctan(x)\le \frac{\pi}{2}$. Ainsi $$ 0<\frac{2}{\pi}\arctan\frac{n^{2}+1}{n}\le 1.$$ Ce qui montrer que $u_n\le 0$. D’autre part, pour tout $x>0$ on a $\arctan(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(\frac{1}{x})$. Donc, pour $n\geq1$ on obtient \begin{align*}\ln\left(\frac{2}{\pi}\arctan\frac{n^{2}+1}{n}\right)&=\ln\left(1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{n}{n^{2}+1}\right)\cr &\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} -\frac{2}{\pi}\arctan\frac{n}{n^{2}+1}\cr &\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}-\frac{2}{\pi}\frac{n}{n^{2}+1}\cr &\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}-\frac{2}{n\pi} < 0.\end{align*}Donc la série de terme général $u_n$ diverge.
Calcul de la somme des séries
Voici des exercices corrigés sur les séries numériques qui donnes exactement la valeur de la somme de la série.
Exercice 7: Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence. \begin{align*}&1.\; \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{3^{n}} \qquad 2.\; \sum_{n=3}^{+\infty}\frac{2n-1}{n^{3}-4n} \cr & 3.\; \sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right).\end{align*}
1. Montrons que la serie converge. En effet, on a $$ n^2 u_n =e^{-n (\ln(3)-2\frac{\ln(n)}{n}-\frac{\ln(n+1)}{n})}.$$ Par suite, $$\frac{n+1}{3^{n}}\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o\left(\frac{1}{n^{2}}\right).$$ Par suite, la série de terme général $\frac{n+1}{3^{n}}$ converge. Soit $S=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{3^{n}}.$ Alors \begin{align*}\frac{1}{3}S&=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{3^{n+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{3^{n}}\cr &=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+1}{3^{n}}-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}}\cr &=(S-1)-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=S-\frac{3}{2}\end{align*}On en déduit que $$S=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{3^{n}}=\frac{9}{4}.$$
2. Pour $k\geq3$, $\frac{2k-1}{k^{3}-4k}=\frac{3}{8(k-2)}+\frac{1}{4k}-\frac{5}{8(k+2)}.$ Plus \begin{align*}S_n&:=\sum_{k=3}^{n}\frac{2k-1}{k^{3}-4k}\cr &=\frac{3}{8}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k-2}+\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{5}{8}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k+2}\cr &=\frac{3}{8}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k}+\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{5}{8}\sum_{k=5}^{n+2}\frac{1}{k}\cr&\underset{n\rightarrow +\infty}{=}\frac{3}{8}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{4}\left(-1-\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\cr & \hspace{1cm}-\frac{5}{8}\left(-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)+o(1)\cr&\underset{n\rightarrow +\infty}{=}-\frac{3}{8}+\frac{5}{8}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+o(1)\cr &\underset{n\rightarrow +\infty}{=}-\frac{3}{8}+\frac{125}{96}+o(1)\cr&\underset{n\rightarrow +\infty}{=}\frac{89}{96}+o(1).\end{align*}La série proposée est donc convergente de somme $\frac{89}{96}.$ $$\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{2n-1}{n^{3}-4n}=\frac{89}{96}.$$
3. Pour $n\in\mathbb{N}^{*}$, posons \begin{align*}S_n=\sum_{k=2}^{n}\ln\left(1+\frac{(-1)^{k}}{k}\right).\end{align*}Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$.\begin{align*}S_{2p+1}&=\sum_{k=2}^{2p+1}\ln\left(1+\frac{(-1)^{k}}{k}\right)\cr &=\sum_{k=1}^{p}\left(\ln\left(1+\frac{1}{2k}\right)+\ln\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)\right)\cr&=\sum_{k=1}^{p}(\ln(2k+1)-\ln(2k)+\ln(2k)-\ln(2k+1))=0.\end{align*}D’autre part, \begin{align*}S_{2p}=S_{2p+1}-\ln\left(1+\frac{(-1)^{2p+1}}{2p+1}\right)\cr &=\ln\left(1-\frac{1}{2p+1}\right).\end{align*} Mais alors les suites $(S_{2p})$ et $(S_{2p+1})$ convergent et ont mêmes limites, à savoir 0. On en déduit que la suite $(S_{n})$ converge ou encore la série de terme général $\ln\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right),$ $n\geq2$, converge et $$\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right)=0.$$
Dans l’analyse mathématiques est séries s’applique pour simplifier la preuve des quantités mathématiques. Par exemple, La démonstration de la formule de Stirling.
Les séries numériques jouent un rôle essentiel dans les mathématiques
Les séries numériques jouent un rôle essentiel dans de nombreux autres chapitres des mathématiques, où elles trouvent des applications variées et importantes. Voici quelques exemples de domaines où les séries numériques s’appliquent :
Utilisation dans le calcul intégral
Les séries numériques sont étroitement liées au calcul intégral, notamment à travers les séries de Taylor et les séries de Fourier. En effet, Les séries de Taylor permettent de représenter des fonctions complexes comme une somme infinie de termes polynomiaux, ce qui est crucial pour l’approximation de fonctions et la résolution de problèmes mathématiques. D’autre part, les séries de Fourier sont utilisées pour décomposer des fonctions périodiques en une série infinie de fonctions trigonométriques, ce qui trouve des applications en analyse harmonique, traitement du signal et d’autres domaines liés.
Utilisation dans l’analyse complexe
Dans l’analyse complexe, les séries de Laurent sont des outils importants pour étudier le comportement des fonctions complexes autour des singularités. Ces séries permettent de représenter des fonctions sous forme de série d’une combinaison d’une série de puissances et d’une série principale. Elles sont utilisées pour analyser le comportement asymptotique des fonctions complexes, ce qui trouve des applications en physique, en ingénierie et dans d’autres domaines.
Utilisation dans l’Équations différentielles
Les séries de puissances sont largement utilisées pour résoudre des équations différentielles linéaires. En utilisant les propriétés des séries de puissances, on peut obtenir des solutions sous forme de séries infinies, ce qui permet d’étudier le comportement global des solutions et de trouver des solutions en termes de séries pour des problèmes spécifiques.
Probabilités et statistiques
Les séries numériques sont également utilisées dans le domaine des probabilités et des statistiques. Par exemple, les séries de Taylor sont employées pour approximer les fonctions de distribution de probabilité, ce qui facilite les calculs et les analyses statistiques. Les séries de nombres aléatoires sont également utilisées pour générer des simulations probabilistes et résoudre des problèmes d’optimisation stochastique.
