Le raisonnement par récurrence est une méthode essentielle en mathématiques pour démontrer des propriétés ou des théorèmes concernant les entiers naturels. Cette technique repose sur un principe logique simple : si une propriété est vraie pour un entier de départ et que sa validité pour un entier nnn implique sa validité pour $n+1$, alors cette propriété est vraie pour tous les entiers naturels supérieurs ou égaux au point de départ. Dans cet article, nous allons explorer en détail le raisonnement par récurrence, ses étapes, et ses applications à travers des exemples concrets.

Définition du Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence consiste à prouver une propriété $P(n)$ pour tous les entiers $n \geq n_0$​, où $n_0$​ est un entier donné. Cela s’effectue en deux étapes principales :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété $P(n)$ est vraie pour $n=n_0$. $$ \text{Montrer que}\; P(n_0​)\; \text{est vraie}.$$
2. Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un entier $k \geq n_0$​ et montrer qu’elle est vraie pour $k+1$. $$P(k) \implies P(k+1).$$

Si ces deux étapes sont remplies, alors, selon le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$​.

Étapes du Raisonnement par Récurrence

1. Initialisation

On prouve que la propriété est vraie pour l’entier de départ $n_0$ .$$\text{Montrer que } \;P(n_0)\; \text{ est vraie.}$$

2. Hypothèse de récurrence

On suppose que la propriété est vraie pour un entier $k$ donné.$$\text{Supposons que }\; P(k) \;\text{ est vraie.}$$

3. Étape héréditaire

On montre que la propriété est vraie pour $k+1$, en utilisant l’hypothèse $P(k)$.$$\text{Montrer que } P(k) \implies P(k+1).$$

Conclusion

D’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$​.

Exemple Classique : Somme des nnn Premiers Entiers Naturels

Problème

Prouvons que pour tout entier $n \geq 1$, la somme des $n$ premiers entiers naturels est donnée par :$$S(n) = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Solution

1. Initialisation
   Pour $n=1$, on a : $$S(1) = 1 = \frac{1(1+1)}{2}.$$​. La propriété est vraie pour $n=1$.
2. Hypothèse de récurrence
   Supposons que la formule est vraie pour un entier $k$, c’est-à-dire :

$$S(k) = \frac{k(k+1)}{2}.$$

3. Étape héréditaire
   Montrons que la formule est vraie pour $k+1$, c’est-à-dire :

$$S(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$

En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a $$S(k+1) = S(k) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).$$

Factorisons $(k+1)$ :$$S(k+1) = (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$

La propriété est donc vraie pour $k+1$.

4. Conclusion
   Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout$n \geq 1$.

Applications du Raisonnement par Récurrence

1. Inégalités

Prouver des inégalités comme :$2^n > n^2, \quad \forall n \geq 5.$.

2. Divisibilité

Montrer que $7^n – 1$ est divisible par 6 pour tout $n \geq 1$.

3. Algorithmes

Vérifier la validité des algorithmes, comme la preuve de la complexité d’un tri par insertion.

Exercice d’Application

Problème :
Prouvez que pour tout entier $n \geq 1$, la somme des carrés des nnn premiers entiers naturels est donnée par :$$S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Indication : Suivez les étapes du raisonnement par récurrence.

Exercice corrigés

Montrer par récurrence que pour tout entier n⩾1, on a : $$ S_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$ En effet, pour n=1, on a $S_1=\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{1+1}$. Donc c’est vraie. En suite, en suppose que $S_n$ est vraie, et montrons que $S_{n+1}$ est vraie. On a \begin{align*} S_n&=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= S_n+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= 1-\frac{1}{n+2}.\end{align*}

Conclusion

Le raisonnement par récurrence est une méthode rigoureuse et élégante utilisée pour démontrer une infinité de résultats à partir de quelques étapes simples. En maîtrisant cette technique, vous pouvez résoudre des problèmes variés, des séries aux algorithmes, en passant par les preuves d’inégalités.

Pratiquez régulièrement pour approfondir votre compréhension et votre maîtrise de ce puissant outil mathématique.

Les suites de fonctions sont un sujet important en mathématiques, en particulier en analyse réelle. Elles sont utilisées pour étudier le comportement de fonctions lorsque la variable indépendante varie. Voici un cours de base sur les suites de fonctions, suivi de quelques exemples pour illustrer les concepts.

Donc le rest de ce cours sur les suite de fonctions, on note par $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions de $I\subseteq\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. De plus on note par $\mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ l’ensembles des fonctions bornées de $I$ dans $\mathbb{R}$.

Types de convergences de suites de fonctions

Difference entre suite de nombres et suite de fonctions

Avant de plonger dans le sujet, il est essentiel de comprendre ce qu’est une suite de fonctions. Jusqu’à présent, nous avons exploré les suites de nombres réels, représentées comme des éléments de $\mathscr{F}(\mathbb{N},\mathbb{R})$. En analogie, une suite de fonctions est une entité de $\mathscr{F}(\mathbb{N},\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R}))$, où $I\subseteq \mathbb{R}$. Ainsi, les éléments de cette suite sont des fonctions notées $f_n\in \mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$, et elle sera désignée sous la forme $(f)_n$.

Convergences simple et uniforme

En mathématiques, le concept de convergence est étroitement lié à la notion de distance (métrique) entre les objets. Dans le cas des suites de nombres réels, la convergence est déterminée à l’aide de la valeur absolue, qui définit la distance entre les éléments de $\mathbb{R}$. En analogie, pour une suite de fonctions, il est essentiel de définir une notion de distance dans l’espace $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$.

En effet, dans ce contexte, la distance entre deux fonctions, notées $f$ et $g$ dans $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$, correspond à la distance entre leurs graphes. Ainsi, dire que $f$ est proche de $g$ revient à signifier deux choses : premièrement, que chaque point du graphe de $f$, $(x, f(x)),$ est proche de son homologue dans le graphe de $g,$ $(x, g(x))$, ce qui caractérise la convergence ponctuelle. Deuxièmement, cela peut également signifier que les deux graphes de $f$ et $g$ sont contenus dans une bande de largeur très étroite, ce qui caractérise la convergence uniforme. On a les definitions suivantes:

Remarque: si $f,g\in \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ sont des fonctions bornées, alors la distance entre $f$ et $g$ est définie part: $$ \|f-g\|_{\infty,I}:=\sup_{x\in I}|f(x)-g(x)|.$$ Alors la convergence uniforme pour une suite de fonctions $(f_n)\subset \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ vers une une fonction $f\in \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ est caractérisé par $$ \lim_{n\to\infty} \|f_n-f\|_{\infty,I}=0.$$

Conséquence de la convergence uniforme des suites de fonctions

Conservation de la continuité

La question cruciale est de savoir si une suite de fonctions continues, notée $(f_n)$, converge vers une fonction $f$, est-ce que cette fonction limite est également continue ? Pour aborder cette question, prenons un exemple simple. Considérons la suite de fonctions $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ définie par $f_n(x)=x^n$ pour tout $x\in [0,1]$. Il est important de noter que les fonctions $f_n$ sont continues sur l’intervalle $[0,1]$.

Cependant, cette suite converge simplement vers une fonction limite, notée $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, qui est discontinue. Cette fonction limite est définie comme suit : $$ f(x)=\begin{cases} 0,& x\in [0,1[,\cr 1, & x=1.\end{cases}$$ Ainsi, dans ce cas, la convergence simple ne préserve pas la continuité de la fonction limite. De plus, on peut démontrer que la suite de fonctions $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément.

Ce contre-exemple met en évidence le fait que la convergence de suites de fonctions peut être complexe, et que la convergence simple ne garantit pas toujours la continuité de la fonction limite. De plus, il illustre également la nécessité de distinguer entre la convergence simple et la convergence uniforme lors de l’analyse des suites de fonctions.

Permutation limite/intégrale 

On rappelle que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est bornée (théorème de Heine) et elle est intégrable sur $[a,b]$.

Dérivabilité et convergence uniforme de suites de fonctions

Une fonction $g$ est dite de classe $C^1$ sur un intervalle $I$, si elle est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est continue si $I$.

Ce résultat joue un rôle important dans les exercices sur les suites de fonctions.

De plus, étant donné que nous avons défini une notion de convergence pour les suites de fonctions, nous pouvons désormais aborder la notion de séries de fonctions.

Les fonctions dérivables jouent un rôle central en mathématiques et en sciences. Elles permettent de comprendre comment une fonction change à mesure que sa variable indépendante évolue. Ce cours exhaustif vous guidera à travers les concepts clés des fonctions dérivables, de leurs propriétés fondamentales à leurs applications pratiques.

Introduction aux fonctions dérivables

L’essence de la dérivation réside dans la compréhension de la manière dont une fonction évolue au fur et à mesure que sa variable indépendante change. Soit$f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction. La dérivée de$f$ en un point$x_0$ est une mesure du taux de variation instantané de $f$ à ce point. Intuitivement, la dérivée nous permet de capturer le comportement local de la fonction, montrant comment elle « fluctue » autour du point $x_0$.

Definition de la dérivée

Commencons ce cours sur les fonctions dérivables par donner la definition mathématique de la dérivée d’une fonction.

Si on pose $h=x-x_0$, et si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0).$$ Ceci nous conduit la caracterisation suivante de la dérivée: Une fonction $f$ est dérivable au point $x_0\in I$ si et seulement si il existent $L\in \mathbb{R}$ et $\varepsilon h\mapsto \varepsilon(h)$ tels que $\varepsilon(h)\to 0$ quand $h\to 0$ et $$ f(x_0+h)=f(x_0)+L h+h\varepsilon(h).$$ Ici $L$ coincide avec $f'(x_0)$. Cette formule est appelée le développement limité d’ordre $1$ de la fonction $f$ au point $x_0$.

Remarque: Si $f$ est dérivable au point $x_0$, alors elle est aussi continue en $x_0$. Donc la continuité est une condition necessaire pour la derivee d’une fonction.

Explorez des exercices sur les fonctions dérivables et démontrez leur continuité tout en identifiant les points où elles sont non dérivables.

Si $f$ est dérivable sur $I$, alors on peut definition une fonction $f’:I\to \mathbb{R},$ $x\mapsto f'(x)$, appelée la fonction derivée de $f$. Si de plus $f’$ est continue sur $I,$ alors $f$ est dite continuement dérivable sur $I$ ou de classe $C^1$ sur $I$, et on note $f\in C^1(I)$.

Règles de dérivation pour les fonctions dérivables

Les règles fondamentales de la dérivation sont essentielles pour manipuler les dérivées des fonctions. Quelques règles importantes incluent :

1. Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $I$ alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables sur $I$ et on a : \begin{align*}& (f+ g)’=f’+g’\cr & (fg)’=f’g+fg’.\end{align*}
2. Soent $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $x_0$ tels que $g(x_0)\neq 0$, alors le quotient $\frac{f}{g}$ est dérivable en $x_0$ et $$ \left( \frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$
3. On se donne deux fonctions $f:I\to\mathbb{R}$ et $g:J\to\mathbb{R}$ tel que $f(I)\subset J$. On suppose que $f$ esr dérivable en un point $x_0\in I$ et $g$ dérivable en $f(x_0)$ alors la fonction $g\circ f: I\to \mathbb{R}$ est dérivable en $x_0$ et on a $$ (g\circ f)'(x_0)=f'(x_0) g'(f(x_0)).$$
4. On suppose que $f:I\to \mathbb{R}$ est bijective sur $I$, derivable en $a$ tel que $f'(a)\neq 0$. Alors la fonction reciproque $f^{-1}$ est derivable en $b=f(a)$ et on a $$ \left(f^{-1} \right)'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$

Les règles de dérivation sont des outils puissants pour manipuler les dérivées de fonctions. La règle de la somme, la règle du produit et la règle de la chaîne permettent de dériver des fonctions complexes en utilisant les dérivées de fonctions plus simples. Les fonctions élémentaires telles que les polynômes, les exponentielles, les logarithmes et les fonctions trigonométriques ont des dérivées bien définies, facilitant le calcul des dérivées dans divers contextes.

Extremum local en un point

Dans un cours sur les fonctions dérivables, il est essentel de discuter le extrema des fonctions. En effetm L’extremum local en un point est un concept fondamental en analyse mathématique qui décrit les valeurs maximales et minimales qu’une fonction peut atteindre dans un voisinage immédiat d’un point spécifique. Formellement

Mathématiquement, ces notions sont exprimées comme suit : si $f:I\to\mathbb{R}$ et $x_0\in I$. Alors $f$ admet un

1. minimum local en $x_0$ si il existe $\beta>0$ tel que $$ f(x)\ge f(x_0),\quad \forall x\in I\cap ]x_0-\beta,x_0+\beta[.$$
2. maximum local en $x_0$ si il existe $\beta>0$ tel que $$ f(x)\le f(x_0),\quad \forall x\in I\cap ]x_0-\beta,x_0+\beta[.$$
3. extremum local en $x_0$ si elle est minimum local ou maximum local en $x_0$.

Théorème de Rolle

Le Théorème de Rolle est un résultat fondamental de l’analyse mathématique qui établit une relation entre les propriétés de dérivabilité d’une fonction et la valeur de sa dérivée.

Théorème des Accroissements Finis

Un des grand théorème du cours sur les fonctions dérivables est le théorème des Accroissements Finis. C’ est l’un des piliers fondamentaux de l’analyse mathématique. Introduit par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, ce théorème établit une relation cruciale entre la dérivée d’une fonction continue et les taux de variation sur un intervalle donné.

L’interprétation géométrique du Théorème des Accroissements Finis est particulièrement instructive. La première forme (égalité) nous dit que, à un certain point $c$ dans l’intervalle $]a,b[$, la pente de la tangente en $c$ est égale à la pente de la corde reliant les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$.