La méthode du pivot de Gauss, également connue sous le nom d’élimination de Gauss, est effectivement utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires en trouvant les solutions aux inconnues. Elle repose sur une série d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice augmentée, qui est une représentation du système d’équations sous forme matricielle. L’objectif principal de cette méthode est de transformer la matrice augmentée en une forme échelonnée réduite (ou forme échelonnée avec des 1 le long de la diagonale).
Toutes les étapes de la méthode du pivot
- Forme matricielle du système d’équations : Commencez par écrire le système d’équations sous forme de matrice augmentée, où les coefficients des variables sont disposés dans une matrice et les constantes à droite du signe égal sont disposées dans une colonne séparée.
- Choix du pivot : Identifiez le pivot, qui est l’élément dans la matrice augmentée que vous allez utiliser pour éliminer les autres éléments sous lui (généralement, le pivot est choisi comme le plus grand coefficient en valeur absolue dans la colonne actuelle).
- Élimination : Utilisez des opérations élémentaires sur les lignes pour éliminer les coefficients en dessous du pivot. L’objectif est d’obtenir des zéros en dessous du pivot. Pour ce faire, vous soustrayez un multiple approprié de la ligne contenant le pivot des autres lignes.
- Normalisation : Une fois que vous avez des zéros en dessous du pivot, normalisez la ligne du pivot de manière à ce que le pivot lui-même soit égal à 1. Pour ce faire, divisez toute la ligne par la valeur du pivot.
- Répétition : Répétez ces étapes pour chaque pivot restant, en travaillant de haut en bas et de gauche à droite dans la matrice augmentée, jusqu’à ce que vous obteniez une forme échelonnée réduite.
- Résolution : Une fois que la matrice augmentée est en forme échelonnée réduite, il est facile de résoudre le système d’équations, généralement en utilisant la substitution arrière.
Remarques sur la méthode
- Si vous obtenez une ligne de zéros dans la matrice augmentée, cela signifie que le système a une infinité de solutions.
- Si vous obtenez une ligne de zéros avec un terme constant non nul, cela signifie que le système est inconsistant (pas de solution).
La méthode du pivot de Gauss est un outil puissant pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, et elle est couramment utilisée en algèbre linéaire et en mathématiques appliquées pour résoudre des problèmes impliquant des équations linéaires. Elle peut également être étendue pour résoudre des problèmes liés à l’inversion de matrices et à la recherche de bases pour des espaces vectoriels.
Une application du pivot de Gauss
Voici un exemple détaillé en utilisant toutes les étapes de la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système d’équations linéaires.
Exemple: Résoudre le système suivant :$$ \begin{align*} 2x + y – z &= 8 \\ -3x – y + 2z &= -11 \\ -2x + y + 2z &= -3 \\ \end{align*}$$
Nous écrivons d’abord le système d’équations sous forme matricielle augmentée : \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 8 \\ -3 & -1 & 2 & | & -11 \\ -2 & 1 & 2 & | & -3 \\ \end{bmatrix} \]
Nous choisissons le pivot dans la première colonne, première ligne : c’est le coefficient 2. Ensuite, nous divisons la première ligne par 2 pour obtenir un coefficient principal de 1 :\[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 4 \\ -3 & -1 & 2 & | & -11 \\ -2 & 1 & 2 & | & -3 \\ \end{bmatrix} \]
Nous utilisons des opérations élémentaires pour annuler les coefficients en dessous du pivot. En ajoutant 3 fois la première ligne à la deuxième ligne et ajoutant 2 fois la première ligne à la troisième ligne, nous obtenons : \[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 5 \\ \end{bmatrix} \]
Nous choisissons maintenant le pivot dans la deuxième colonne, deuxième ligne (coefficient 1/2). Nous divisons la deuxième ligne par 1/2 pour obtenir un coefficient principal de 1 : \[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & 1 & 5 & | & 2 \\ 0 & 2 & 3 & | & 5 \\ \end{bmatrix} \]
En soustrayant 2 fois la deuxième ligne de la troisième ligne, nous obtenons :\[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & 1 & 5 & | & 2 \\ 0 & 0 & -7 & | & 1 \\ \end{bmatrix} \]
Maintenant, en multipliant la troisième ligne par -1/7, nous obtenons :\[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & 1 & 5 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{7} \\ \end{bmatrix} \]
En utilisant des substitutions en partant de la troisième équation, nous pouvons trouver les valeurs des inconnues :
- À partir de la troisième équation, $z = -\frac{1}{7}$.
- En substituant $z$ dans la deuxième équation, nous obtenons $y = 2 – 5z = 2 + \frac{5}{7}$.
- En substituant $y$ et $z$ dans la première équation, nous obtenons $x = 4 – \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 4 – \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} – \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{7}$.
Cet exemple illustre toutes les étapes de la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système d’équations linéaires.
