La résolution des systèmes linéaires est une tâche fondamentale présente dans les domaines des mathématiques, de la physique, de l’ingénierie et de nombreuses autres disciplines. Cette compétence trouve des applications dans divers contextes, de la conception de circuits électroniques à l’analyse financière en passant par la modélisation des phénomènes naturels. Dans cet article, nous explorerons les méthodes de résolution des systèmes linéaires, leurs applications et leurs implications dans le monde réel.
Introduction aux Systèmes Linéaires
Un système linéaire de $n$ équations et $p$ inconnues est un système de la forme $$ S:\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1p}x_p=y_1\cr a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2p}x_p=y_2\cr \vdots \cr a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{np}x_p=y_n \end{cases}$$ avec $\{a_{ij}: 1\le i\le n,\; 1\le j\le p\}$ et $(y_i)_{1\le i\le n}$ sont des scalaires fixés et les $(x_i)_{1\le i\le n}$ sont les inconnues.
Si on pose $$ A=(a_{ij})_{1\le i\le n, 1\le j\le p},\quad X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_p\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix},$$ alors le système linéaire $S$ est équivalent à $AX=Y$.
- Le système est compatibe s’il existe au moins une solution.
- On dit que le système $S$ est homogène si $Y=0$.
- Le système $AX=0$ est appelé un système homogène associé à $S$.
Méthodes de Résolution des Systèmes Linéaires
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des systèmes linéaires. Les méthodes les plus couramment utilisées incluent :
Méthode de Substitution: pratique pour dimension 2
La méthode de substitution consiste à résoudre une équation pour l’une des variables en fonction de l’autre, puis à substituer cette expression dans l’autre équation. Elle est particulièrement utile pour les systèmes simples à deux équations et deux variables.
Méthode de l’Élimination de Gauss
La méthode de l’élimination de Gauss, également connue sous le nom de méthode du pivot de Gauss, consiste à transformer le système initial en une forme échelonnée réduite (forme échelonnée gaussienne) à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes. Une fois le système échelonné obtenu, il est relativement simple de trouver les solutions.
Méthode de la Matrice Inverse (système de Gramer)
Cette méthode repose sur la notion de matrices. Le système linéaire est représenté sous forme matricielle, puis la matrice inverse est utilisée pour résoudre le système en multipliant les deux côtés de l’équation matricielle par l’inverse de la matrice des coefficients. La solution du système est $$ X=A^{-1}Y.$$
