Les séries alternées sont des séries spéciales. Elles présentent une alternance de signes entre les termes successifs, c’est-à-dire que chaque terme est suivi d’un terme de signe opposé.
Par définition une série alternée est série numérique de la forme: $$ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n,$$
où $a_n$ est une suite de nombres réels positifs ou nuls, et $(-1)^n$ est l’alternance des signes. Cela signifie que les termes de la série peuvent être positifs ou nuls pour les valeurs paires de $n$, tandis qu’ils seront négatifs ou nuls pour les valeurs impaires de $n$.
Quelques exemples de séries alternées courantes sont $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ (-1)^n}{n}, \; \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}, \; \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^n}.$$
Le Critère de Convergence des Séries Alternées:
Soit $(a_n)$ une suite positive, décroissante et tend vers zéro a l’infini. Alors la séries alternée $\sum_n (-1)^na_n$ est convergente.
De ce cas, si on note par $S$ la somme de serie et $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles, alors le reste de la serie $R_n=S-S_n$ satisfait $$ |R_n|\le a_{n+1},\quad \forall n.$$
De plus, on a $$ S_{2n+1}\le S\le S_n.$$
Étant donné que $(a_n)_n$ est décroissante et tend vers zéro, on peut montrer que les termes de la série deviennent de plus en plus petits en valeur absolue à mesure que $n$ augmente. Cela signifie que l’oscillation entre les termes positifs et négatifs diminue, et donc, la série convergera vers une valeur réelle.
Il est essentiel de noter qu’une série alternée peut converger conditionnellement ou absolument. En effet, Une série alternée converge conditionnellement si la série des valeurs absolues $\sum_n |a_n|$ diverge; mais la série alternée d’origine $\sum_n (-1)^na_n$ est converge.
Une série alternée converge absolument si la série des valeurs absolues $\sum_n |a_n|$.
Vous pouvez aussi consulter les exercices sur les séries numériques pour bien pratiquer ce critère de convergence.
Conclusion:
Le critère de convergence des séries alternées est un outil précieux pour déterminer si une série alternée converge ou non. En vérifiant la décroissance des termes et la limite tendant vers zéro de la suite des coefficients $a_n$; nous pouvons conclure sur la convergence ou la divergence de la série. La convergence des séries alternées est un domaine fascinant des mathématiques et a des applications importantes dans la sciences.
