Nous explorerons les propriétés de la série de Riemann, sa convergence et sa divergence, ainsi que son lien profond avec les fonctions zêta de Riemann.
Définition de la série de Riemann
La série de Riemann est la série numérique de la forme $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},$$ où $p$ est un nombre réel positif. Nous allons voir de le paragraphe qui suit que la convergence de cette série dépond de nombre réel $p\in\mathbb{R}$.
La série de Riemann est l’une des séries numériques les plus célèbres et importantes en mathématiques. Elle a été étudiée par le mathématicien suisse Leonhard Euler et le mathématicien allemand Bernhard Riemann au 18e et 19e siècle. Cette série est fondamentale dans l’étude de l’analyse complexe, la théorie des nombres et les mathématiques pures en général.
Règle de Riemann: convergence de Série de Riemann
Pour étudier la nature des séries de Riemann nous allons utiliser le test de comparaison série-intégrale. En effet, on a le resultat suivant:
La série de Riemann est convergente pour $p>1$ et elle est divergente pour $p\le 1$.
Soit la fonction $f:[1,+\infty[\to \mathbb{R}$ définie par: $$ f(x)=\frac{1}{x^p}, \quad x\ge 1.$$ Cette fonction est continue, positive et elle est décroissante sur $[1,+\infty[$. On distingue les cases suivants:
$\bullet$ Si $p=1$, alors $$ \int^{+\infty}_1 \frac{1}{x} dx=\left[\ln(x)\right]^{x\to+\infty}_{x=1}=+\infty.$$ Donc, par le test de comparaison série-intégrale, la série (dite harmonique) $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n}$.
$\bullet$ Si $p\neq 1$, alors on a \begin{align*} \int^{+\infty}_1 \frac{dx}{x^p} dx&=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]^{x\to+\infty}_{x=1}\cr &= \begin{cases} +\infty,& p<1,\cr \frac{1}{1-p},& p>1.\end{cases} \end{align*} D’ou le resultat.
ce résultat est très important pour les exercices sur les séries numériques.
Les Fonctions Zêta de Riemann
Les fonctions zêta de Riemann sont intimement liées à la série de Riemann. La fonction zêta de Riemann est définie pour tout nombre complexe $s$ avec partie réelle $s >1$ par la formule : $$ \zeta(s):=\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^s}.$$
L’expression de $\zeta(s)$ est en fait une généralisation de la série de Riemann pour des valeurs complexes de $s$. Lorsque $s$ est un nombre réel positif, la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ est équivalente à la série de Riemann avec $p = s$.
L’Hypothèse de Riemann
L’hypothèse de Riemann est l’une des conjectures les plus célèbres et non résolues en mathématiques. Elle concerne les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$. Les zéros triviaux correspondent aux valeurs négatives des nombres entiers pairs.
L’hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ ont une partie réelle égale à 1/2. Cette conjecture est étroitement liée à la distribution des nombres premiers. Il est aussi liée à de nombreux problèmes non résolus en théorie des nombres.
Conclusion sur la régle de Riemann
La série étudier dans cet article est une série numérique fondamentale en mathématiques. En effet, elle permet de mieux comprendre la convergence et la divergence des séries. Elle est étroitement liée aux fonctions zêta de Riemann; dont l’hypothèse est l’un des problèmes les plus célèbres et difficiles de l’histoire des mathématiques.
Étudier la série de Riemann et les fonctions zêta de Riemann a ouvert la voie à de nouvelles découvertes. En particulier des applications dans divers domaines, notamment en théorie des nombres, en analyse complexe et en physique théorique. Malgré l’importante progression réalisée dans ce domaine, l’hypothèse de Riemann reste une énigme fascinante qui continue de stimuler les mathématiciens du monde entier.
