Nous vous proposons un résumé des cours et des exercices corrigés sur les suites de Cauchy. Parfois, il est facile de montrer qu’une suite est convergente en prouvant simplement qu’il s’agit d’une suite de Cauchy. C’est le cas des suites récurrentes qui sont définies par des fonctions contractantes ou hölderiennes.
Definition d’une suite de Cauchy
Une suite $(u_n)_n$ de nombres réels est appelée suite de Cauchy s’il existe un entier (assez grand) $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $p,q>N$, la distance entre les deux termes de la suite $u_p$ et $u_q$ est très petit (autrement dit $|u_p-u_q|$ est tres petite). En termes mathématiques:\begin{align*}\forall \varepsilon > 0,\;\exists N\in\mathbb{N}\;\text{tel que}\;(\forall p,q\in\mathbb{N},\; p,q>N \;\Longrightarrow\; |u_p-u_q| < \varepsilon.)\end{align*}
Proposition: Une suite de nombres réels $(u_n)_n$ est de Cauchy si et seulement si elle est convergente vers un élément $ell\in\mathbb{R}$.
Ce résultat est un critère important pour montrer la convergence des suites de nombres réels, surtout si la suite n’est pas monotone.
Ce résultat reste-t-il valable si l’on remplace l’ensemble de base $\mathbb{R}$ par l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$. La réponse est non. En effet, il existe un exemple de suite rationnelle $(u_n)\subset \mathbb{Q}$ définie par \begin{align*}u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\qquad n\in\mathbb{N}\end{align*}qui est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$, mais elle converge vers $ell\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.
