Nous proposons des exercices sur les fonctions höldériennes. cette classe contient aussi les fonctions Lipschitziennes, donc les fonctions uniformément continues.
Les étudiants universitaires se retrouvent souvent face à des concepts complexes et fascinants qui nourrissent leur passion pour la discipline. Les fonctions Höldériennes, du nom du mathématicien allemand Otto Hölder, font partie de ces concepts captivants qui offrent une perspective unique sur la continuité et la régularité des fonctions réelles. Dans cet article, nous plongerons dans l’univers des fonctions Höldériennes, en démystifiant leur définition, leurs propriétés et leurs applications.
Introduction sur les fonctions höldériennes
Pour comprendre les fonctions Höldériennes, il est essentiel de revisiter les notions de continuité et de dérivabilité. Une fonction continue est une fonction qui ne présente pas de sauts brusques dans ses valeurs, tandis qu’une fonction dérivable possède une pente bien définie en chaque point. Les fonctions Höldériennes sont une généralisation de ces concepts.
Definition
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une fonction $f:I\to \mathbb{R}$ est dite fonction höldérienne d’indice $\alpha\in ]0,1]$ ou $\alpha$-höldérienne s’il existe une constante $C_\alpha$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le C_\alpha\;|x-y|^{\alpha},\quad \forall x,y\in I.\end{align*}
Les fonctions $1$-höldérienne son exactement les fonctions Lipschitziennes.
Propriétés et Applications
Les fonctions Höldériennes ont des propriétés intéressantes. Par exemple :
- Si $f$ est Höldérienne d’ordre $\alpha$, elle est également uniformément continue sur son intervalle de définition.
- la composition de deux fonctions Höldériennes reste Höldérienne, ce qui offre une certaine stabilité sous composition.
Ces fonctions trouvent des applications dans divers domaines, tels que l’analyse numérique, la modélisation des phénomènes physiques et même la compression d’images. Les surfaces rugueuses et fractales peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions Höldériennes. En effet, les propriétés de ces fonctions permettent de capturer les irrégularités complexes de telles surfaces de manière élégante.
Sélection d’exercices sur les fonctions höldériennes
Exercice 1: : Montrer que toute fonction $f:I\to\mathbb{R}$ Höldérienne d’ordre $\alpha$ est uniformément continue sur $I$.
En effet, pour $\varepsilon>0,$ on choisi $\eta:=\left(\frac{\varepsilon}{C_\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}}$. Donc pour tout $x,y\in I$ avec $|x-y|<\eta$ implique $C_\alpha\;|x-y|^{\alpha}<\varepsilon$, donc $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Cela prouve la continuité uniforme de $f$.
Exercice: la fonction racine carrée est $\frac{1}{2}$-höldérienne, puisque pour tout $x,y\in \mathbb{R}^+,$ on a \begin{align*} |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le |x-y|^{\frac{1}{2}}.\end{align*}
Dans un premier temps, nous allons montrer le petit résultat suivant: Pour tout nombres reels posifs $a,b\in\mathbb{R}^+$, on a $\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$. En effet, \begin{align*} (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&= a+b+2\sqrt{ab}\cr & \ge a+b.\end{align*} Maintenant, comme la fonction racine carrée est croissante, alors $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$.
Soit $x,y\in\mathbb{R}^+$, alors $$ x=(x-y)+y\le |x-y|+y.$$ En prenant la racine carrée des deux côtés de cette inégalité, et en appliquant le résultat technique ci-dessus, on trouve $$ \sqrt{x}-\sqrt{y}\le \sqrt{ |x-y|}.$$ Par symétrie (en fait $x$ et $y$ jouent le même rôle), on peut aussi écrire : $$ \sqrt{y}-\sqrt{x}\le \sqrt{ |y-x|}=\sqrt{ |x-y|}.$$ Ainsi $$-\sqrt{ |x-y|}\le \sqrt{x}-\sqrt{y}\le \sqrt{ |x-y|}.$$
Aller Plus Loin
Pour les étudiants qui souhaitent approfondir leur compréhension des fonctions Höldériennes, explorer les preuves de leurs propriétés et découvrir des applications plus avancées pourrait être une excellente avenue. Les concepts liés aux espaces de Hölder, aux inégalités de Hölder et aux problèmes de régularité des équations aux dérivées partielles ouvrent la voie à des défis mathématiques passionnants.
En conclusion, les fonctions Höldériennes offrent une perspective riche sur la régularité des fonctions réelles. Leur généralisation des concepts de continuité et de dérivabilité les rendent captivantes pour les esprits mathématiques curieux. En explorant leurs propriétés et leurs applications, les étudiants peuvent se plonger dans un domaine fascinant qui transcende les limites de la continuité traditionnelle.
Biographie brève d’Otto Hölder : Pionnier des Mathématiques Modernes
Otto Hölder (1859-1937), mathématicien allemand éminent, a laissé une marque indélébile dans le paysage mathématique du XXe siècle. Diplômé de l’Université de Tübingen, son œuvre a gravité autour de domaines tels que l’analyse réelle, la géométrie et la théorie des nombres. Hölder est particulièrement connu pour les fonctions qui portent son nom, les fonctions Höldériennes. Ces fonctions, caractérisées par leur régularité mesurée par un ordre Hölder, ont des applications clés dans la modélisation fractale et l’analyse numérique.
En plus de ses contributions à la recherche, Hölder a joué un rôle important en tant qu’éducateur et éditeur. Il a influencé plusieurs générations de mathématiciens en tant que professeur à Erlangen, Leipzig et Göttingen. En tant que cofondateur du journal « Mathematische Annalen », il a contribué à promouvoir le partage des connaissances mathématiques.
Son héritage continue à prospérer grâce à ses découvertes révolutionnaires dans l’analyse mathématique et à ses contributions substantielles à la théorie des nombres. Otto Hölder demeure une figure clé dans le développement des mathématiques modernes, illustrant comment ses idées novatrices continuent de résonner à travers le temps.
