Nous proposons une collectionm soigneusement sélectionnés, des exercices sur l’ensemble de nombres réels. En particulier, des exercices sur la topologie des nombres réels.
Les nombres réels forment un pilier fondamental des mathématiques, englobant une vaste gamme de valeurs allant des nombres rationnels familiers aux nombres irrationnels énigmatiques. On rappelle que l’ensemble des nombres réels satisfait la propriété de la borne supérieure et inférieure.
La topologie des nombres réels est très importante pour l’étude de la continuité des fonctions d’une variable réelle. La densité des parties de $\mathbb{R}$ et la continuité permettent d’étendre les propriétés vraies sur la partie dense à l’ensemble des nombres réels.
À travers ces exercices, nous invitons nos lecteurs à explorer en profondeur les propriétés, les opérations et les relations qui caractérisent cet ensemble essentiel. Que vous soyez novice dans le domaine des nombres réels ou que vous cherchiez à approfondir votre compréhension, ces exercices offrent une opportunité de renforcer vos compétences et de développer votre intuition dans ce domaine central des mathématiques. Plongeons-nous dans cette exploration enrichissante de l’ensemble de nombres réels à travers une série d’exercices engageants et instructifs.
Une sélection d’exercices sur l’ensemble de nombres réels
La valeur absolue des nombres réels
On rappelle que la valeur absolue d’un nombre réel $x$ est donnée par $|x|=\max\{x,-x\}$. De plus la distance entre deux nombres réels $x,y$ est définie par $d(x,y)=|x-y|$. Nous avons les propriétés suivantes : $|x|=0$ est équivalent à $x=0$, $|xy|=|x||y|$ et $|x+y|\le |x|+|y| $.
Exercice 1: Monter que pour tout $x,y\in\mathbb{R},$ \begin{align*} \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\le \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.\end{align*}
Un calcul direct sera difficile. Nous allons donc procéder différemment. En effet, on considère la fonction $f : [0, +\infty [\to \mathbb{R}$ définie par\begin{align*}f(t)=\frac{t}{1+t},\quad t\ge 0.\end{align*} Si nous nous souvenons du programme du secondaire, nous remarquons que la fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que $f'(t)=t/(1+t)^2\ge 0$ pour tout $t\ge 0$. Ainsi $f$ est une fonction croissante sur $[0,+\infty[$. D’autre part, comme $|x+y|\le |x|+|y|,$ alors $f(|x+y|)\le |x|+|y|,$ ce qui donne \begin{align*} \frac{|x+y|}{1+|x+y|}&\le \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}\cr & \le \frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{||y|}{1+|x|+|y|}.\end{align*} Comme $1+|x|+|y|\ge 1+|x| $ et $1+|x|+|y|\ge 1+|y| $, alors \begin{align*}&\frac{|x|}{1+|x|+|y|}\le \frac{|x|}{1+|x|}\cr & \frac{|y|}{1+|x|+|y|}\le \frac{y|}{1+|x|}.\end{align*} Ce qui implique le résultat souhaité.
Exercice 2: oit $p,q\in\mathbb{Z}$ tel que $q>0$. Montrer qu’il existe une constante $\lambda>0$ telle que \begin{align*}\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\ge \frac{\lambda}{q^2}.\end{align*}
On a \begin{align*} \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|&= \left| 2-\frac{p^2}{q^2}\right|\cr &= \frac{|2q^2-p^2|}{q^2}.\end{align*}Comme $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ alors $\sqrt{2}\neq \frac{p}{q},$ donc $2q^2-p^2\neq 0$, ce qui donne $|2q^2-p^2|\in \mathbb{N}^\ast$. Donc on a $|2q^2-p^2|\ge 1$. On en déduit alors \begin{align*} \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|\ge \frac{1}{q^2}.\end{align*} On distingue deux cas: Premier cas: Si $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\ge \frac{1}{q^2},$ alorsle résultat est démontré en prenant $\lambda=1$. Deuxième cas: si $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{q^2},$ alors \begin{align*} \left|\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right|&=\left|2\sqrt{2}+(\frac{p}{q}-\sqrt{2})\right|\cr & \le 2\sqrt{2}+\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\cr & \le 2\sqrt{2}+\frac{1}{q^2}\le 2\sqrt{2}\cr &\le 4.\end{align*} Ainsi \begin{align*} 4 \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\right| &\ge \left|\left(\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right)\right|\left|\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)\right|\cr & \ge \frac{1}{q^2}.\end{align*} D’où le résultat en prenant $\lambda=\frac{1}{4}$.
Exercices sur la densité
Exercice 3: Un sous ensemble $A$ de $\mathbb{R}$ est dit dense dans $\mathbb{R}$ si pour tout $x,y\in\mathbb{R}$ tel que $x < y$ il existe $a\in A$ tel $x < a < y$.
1- Soit $A\subset \mathbb{R}$. Montrer que $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si $\forall x\in \mathbb{R}$, $\exists (a_n)_n\subset A$ telle que $a_n\to x$ quand $n\to\infty$.
2- Montrer que l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
3- Soient $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x\in\mathbb{Q}$ on a $f(x) < g(x)$. Montrer $f\leq g$ sur $\mathbb{R}$.
4- Montrer que l’ensemble $A={r^3: r\in\mathbb{Q}}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
1-
2- Il suffit de montrer que l’adhérence de $\mathbb{Q}$ c’est $\mathbb{R}$ tout entier ($\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$). En effet, soit $x\in \mathbb{R}$. Soit la suite $$ u_n=\frac{E((n+1)x)}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}. $$ Ici $E(y)$ signifie la partie entière d’un nombre réels $y$. Il faut remarquer que $(u_n)_n\subset \mathbb{Q}$. De plus, on a $E((n+1)x)\le (n+1)x< E((n+1)x)+1$. Donc $$(n+1)x-1 < E((n+1)x)\le (n+1)x. $$ Ce qui implique que $$ x-\frac{1}{n+1} < u_n\le x,\qquad \forall n\in\mathbb{N}. $$ Ainsi $u_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Ce qui donne $x\in \overline{\mathbb{Q}},$ et par suite $\mathbb{R}\subset\overline{\mathbb{Q}}$, puisque déjà on sait que $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$, alors $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.
3- Soit $x\in \mathbb{R}$. Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R},$ il existe une suite de rationnels $(x_n)\subset \mathbb{Q}$ telle que $x_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Comme $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R},$ alors $f(x_n)\to f(x)$ et $g(x_n)\to g(x)$ quand $n\to+\infty$. Ceci montrer que pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_0$ on a $f(x)\leq f(x_n)+\varepsilon$. Comme les $x_n\in\mathbb{Q},$ on a par hypothèse $f(x_n) < g(x_n)$. Par suite $f(x)< g(x_n)+\varepsilon$ pour tout $n\ge n_0$ et pour tout $\varepsilon>0$. Maintenant en faisant tendre $n\to+\infty$ dans la dernière inégalité on trouve $f(x) \le g(x)+\varepsilon$. En suite en fait tendre $\varepsilon\to 0$ on obtient $f(x)\le g(x)$.
4- Soit $x\in \mathbb{R}$. Comme $x^{\frac{1}{3}}\in\mathbb{R},$ alors d’après la question 1, il existe une suites de nombres rationnels $(r_n)_n \subset \mathbb{Q}$ tel que $r_n\to x^{\frac{1}{3}}$ quand $n\to +\infty$. Alors $r_n^3\to x$ quand $n\to +\infty$. Comme $(r_n^3)_n\subset A$, alors $A$ est dense dans $\mathbb{R}$.
Exercice 4: Nous allons montrer que l’ensemble $D$ des nombres réels de la forme $p+q\sqrt{2}$ où $p,q\in\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
1- Soit $u=\sqrt{2}-1>0$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u^n\in D$.
2- Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $b>a$. Montrer qu’il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $0 < u^{n_0} < b-a$.
3- Montrer qu’il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $a < m u^{n_0} < b$.
4- Que peut on conclure ?.
1- Il faut remarquer que $u\in D$ (il suffit de prendre $p=-1$ et $q=1$). Par récurrence, supposons que $u^n\in D$. Donc il existe $p_n,q_n\in\mathbb{Z}$ tel que $u^n=p_n+q_n\sqrt{2}$. Maintenant, on a \begin{align*}u^{n+1}&= u u^n= (\sqrt{2}-1)(p_n+q_n\sqrt{2})\cr &= (2q_n-p_n)+(p_n-q_n)\sqrt{2}.\end{align*}Comme $2q_n-p_n\in\mathbb{Z}$ et $p_n-q_n\in\mathbb{Z}$, alors $u^{n+1}\in D$. D’où le résultat.
2- La suite $(u^n)$ est une suite géométrique de raison $u\in ]0,1[$. Donc $u^n$ tends vers $0$ quand $n\to +\infty$. Par application de la définition des limite de suite, si on prend $\varepsilon:=b-a>0,$ il va exister $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge n_0$ on a $0 < u^n =|u^n-0| < \varepsilon=b-a$. En particulier pour $n=n_0$ on a $0 < u^{n_0} < b-a$.
3- D’après la question 2, on a $a < a+u^{n_0} < b$. Comme $u^{n_0}\neq 0,$ alors $$a < \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)u^{n_0} < b.$$ En prend la partie entière $$m:=E\left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)\in\mathbb{Z}. $$ On a alors (voir exercice 2), $$ \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right)-1 < m \le \left(\frac{a}{u^{n_0}}+1\right).$$ Ce qui donne $$ a < m u^{n_0} < a+u^{n_0} < b. $$
4- Comme $m\in \mathbb{Z}$ et $u^{n_0}\in D,$ alors $r_0=m u^{n_0}\in D$. On a montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ tel que $b>a$ il existe $r_0\in D$ tel que $a < r_0 < b$. Ceci monter que $D$ est dense dans $\mathbb{R}$.
Exercices corrigés sur les bornes supérieure et inférieure
On rappel que toute partie non vide majorée (respectivement minorée) de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure (respectivement inférieure). Tous les exercices suivant sont basés sur cette propriété.
Exercice 5:
1- Soit $A$ une partie non vide et bornée dans l’ensemble de nombres réels $\mathbb{R}$. On pose\begin{align*}B:=\{|x-y|:x,y\in A\}.\end{align*}Montrer que $\sup(B)$ existe et que\begin{align*}\sup(B)=\sup(A)-\inf(A).\end{align*}
2- Etudier l’exitence de la borne supérieure et inférieure des ensembles suivantes\begin{align*}E=]1,2[,\quad F=]0,+\infty[,\quad G=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}^\ast\right\}.\end{align*}
1- Comme $A$ est non vide, alors il existe au moins $a\in A$. Donc $0=|a-a|\in B$, ce qui implique que $B$ est non vide. Montrons que $B$ est majoré. Soit $z\in B$. Donc il existe $x,y\in A$ tels que $z=|x-y|$. D’autre part, il faut remarquer que $\inf(A)\le x\le \sup(A)$ et $-\sup(A)\le -y\le -\inf(A)$. Ce qui donne\begin{align*}\inf(A)-\sup(A)\le x-y\le \sup(A)-\inf(A).\end{align*}Ceci signifie que $z=|x-y|\le \sup(A)-\inf(A)$. Par suite, l’ensemble $B$ est majoré par $\sup(A)-\inf(A)$. Ainsi $\sup(B)$ existe dans $\mathbb{R}$ (on rappelle que toute partie dans $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure). D’aprés la caractérisation de la borne sup en terme de suite, il suffit de montrer que il existe une suite $(z_n)_n\subset B$ telle que $z_n$ tends vers $\sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. En effet, il existe $(x_n)_n\subset A$ et $(y_n)_n\subset A$ telles que $x_n\to \sup(A)$ et $y_n\to \inf(A)$ quand $n\to+\infty$. Donc $x_n-y_n\to \sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. Comme la fonction $t\mapsto |t|$ est continue, alors $|x_n-y_n|\to |\sup(A)-\inf(A)|=\sup(A)-\inf(A)$. En fin si on pose $z_n:=|x_n-y_n|,$ alors $(z_n)_n\subset B$ et $z_n\to \sup(A)-\inf(A)$ quand $n\to+\infty$. D’ou le résultat.
2- On a $E$ est borné car cet ensemble est majoré par 2 et minoré par 1. Comme $E$ est non vide alors les borne supérieure et inférieure de $E$ existent. Pour tout $n\ge 2$ on considère les suites\begin{align*}x_n=1+\frac{1}{n}\quad\text{et}\quad y_n=2-\frac{1}{n}.\end{align*}On a $(x_n)_n, (y_n)_n\subset E$ et $x_n\to 1$ and $y_n\to 2$. Donc $1=\inf(E)$ et $2=\sup(E)$. L’ensemble $F$ est non vide car par exemple $1\in F$. De plus $F$ est minoré par $0$ donc $\inf(E)$ existe. Comme $(\frac{1}{n})_n\subset F$ et $\frac{1}{n}\to 0$ quand $n\to 0$ alors $0=\inf(F)$. Par contre $\sup(F)$ n’existe pas dans $\mathbb{R}$ car $F$ n’est pas majoré. Il est claire de $G\subset ]0,1]$. Donc $\inf(G)$ et $\sup(G)$ existent. De plus $\frac{1}{n}\to 0$, donc $0=\inf(G)$. D’autre par $1$ est un majorant de $G$ et $1\in G$. Donc $1=\sup(G)$ (il faut bien retenir la propriété suivante: un majorant qui appartient a l’ensembe est un sup.)
Exercice 6: Soit $A$ une partie non vide et bornée dans $\mathbb{R}^+$. On pose\begin{align*}\sqrt{A}:=\left\{\sqrt{x}:x\in A\right\}.\end{align*}Montrer que $$\sup(\sqrt{A})=\sqrt{\sup(A)}.$$
This is the solution text.
On a $A\neq \emptyset$ et $A$ majorée dans $\mathbb{R}$ alors $\sup(A)$ existe. Comme les élémemts de $A$ sont positives alors $\sup(A)\ge 0$.
Montrons que $\sup(\sqrt{A})$ est non vide. En effet, le fait que $A\neq \emptyset$ implique que $A$ contient au moins un element $x_0\in A$ avec $x_0\ge 0$. Donc $\sqrt{x_0}\in \sup(\sqrt{A})$. Ainsi $\sup(\sqrt{A})\neq \emptyset$.
Montrons que $\sqrt{A}$ est majorée. En effet, soit $y\in \sqrt{A}$. Il existe donc $x\in A$ ($x\ge 0$) tel que $y=\sqrt{x}$. Comme $x\in A,$ alors $x\le \sup(A)$. Comme la fonction racine carrée est croissante alors $y=\sqrt{x}\le \sqrt{\sup(A)}$. Donc $\sqrt{A}$ est majorée par $\sqrt{\sup(A)}$.
$\sqrt{A}$ non vide majorée, donc $d=\sup(\sqrt{A})$ existe. Comme $d$ est le plus petit des majorants de $\sqrt{A}$ et que $\sqrt{\sup(A)}$ est un majortant de cette ensemble, alors $d\le \sqrt{\sup(A)}$. D’autre part, pour tout $x\in A$ on a $\sqrt{x}\le d,$ donc $x \le d^2$. Ce qui implique $d^2$ est un majorant de $A$. Comme $\sup(A)$ est le plus petit des majorants de $A$ alors $\sup(A)\le d^2$. En passe à la racine carrée, on trouve $\sqrt{\sup(A)}\le d$. Ainsi $\sqrt{\sup(A)}=d$.
Exercices d’approfondissement
Exercice: L’objectif de cet exercice est de montrer que l’ensemble des points de continuité d’une fonction $f:H\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est une intersection dénombrable d’ouverts. On pose alors\begin{align*}C_f:=\{x\in H:f\;\text{est continue en}\;x\}.\end{align*}
1- Pour chaque $n\in\mathbb{N}^\ast,$ on définit un ensemble\begin{align*}H_n=\left\{x\in H: \exists \alpha >0,\; \forall y,z\in ]x-\alpha,x+\alpha[,\; |f(y)-f(z)| < \frac{1}{n}\right\}\end{align*}Montrer que $H_n$ est un ouvert.
2- Montrer que \begin{align*}C_f=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{+\infty}H_n.\end{align*}
1- Montrons que $H_n$ est un ouvert de $\mathbb{R}$. Soit $a\in H_n$, donc il existe $\alpha>0$ tel que pout tout $y,z\in ]a-\alpha,a+\alpha[$ on a $|f(y)-f(z)| < \frac{1}{n}$. Soit $x\in ]a-\alpha,a+\alpha[$ alors il existe un voisinage ouvert $V_x$ de $x$ tel que $V_x\in ]a-\alpha,a+\alpha[$ donc $|f(y)-f(z)| < \frac{1}{n}$ pour tout $y,z\in V_x,$ donc $x\in H_n$, et par suite $]a-\alpha,a+\alpha[\subset H_n$. Ainsi $H_n$ est un ouvert.
2- Soit $x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty}H_n,$ donc pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$, on a $x\in H_n$. D’où\begin{align*}\forall n\ge 1,\quad \exists \alpha>0,\; \forall y\in ]x-\alpha,x+\alpha[\quad |f(y)-f(x)| < \frac{1}{n}.\end{align*}Ainsi $x\in C_f$. Soit $x\in C_f$, par definition de la continuité en $x$, pour tout $n\ge 1,$ il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $y\in ]x-\alpha,x+\alpha[$ on a $|f(y)-f(x)| < \frac{1}{2n}$. Soient maintenant $y,z\in ]x-\alpha,x+\alpha[,$ alors\begin{align*}|f(y)-f(z)|&\le |f(y)-f(x)|+f(x)-f(z)|\cr &\le \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}.\end{align*}Ce qui donne $x\in H_n$ pour tout $n\ge 1$.
Exercice: Si $A$ est une partie de $\mathbb{R},$ on note par $\overline{A}$ l’ensemble des point adhérent à $A$.
1- Soit $A$ et $B$ deux partie de $\mathbb{R}$ tel que $A\subset B$. Montrer que $\overline{A}\subset \overline{B}$.
2- Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$.
1- Soit $x\in \overline{A}$. Donc il existe une suite $(u_n)_n\subset A$ tel que $u_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Comme $A\subset B$ alors $(u_n)_n\subset B$ est donc $x\in \overline{B}$.
2- Soit $y\in f(\overline{A})$. Alors il existe $x\in \overline{A}$ tel que $y=f(x)$. Comme $x\in \overline{A}$, il existe une suite $(u_n)_n\subset A$ tel que $u_n\to x$. Comme $f$ est continue, on a $f(u_n)\to f(x)=y$. Puisque $(f(u_n))_n\subset f(A),$ alors $y\in \overline{f(A)}$.
