Les bornes supérieure et inférieure sont des concepts fondamentaux en mathématiques, jouant un rôle crucial dans l’analyse réelle et la théorie des ensembles. Dans cet article, nous explorerons en profondeur les bornes supérieure et inférieure, en introduisant les définitions essentielles et en présentant des exercices corrigés pour illustrer leur application concrète.
Autour des Bornes Supérieure et Inférieure
On rappelle que l’ensemble des nombres réels est totalement ordonné. Ainsi, les éléments de $\mathbb{R}$ sont toujours comparables. Soit $A$ un ensemble non vide de $\mathbb{R}$. Nous avons donc les définitions suivantes :
Borne supérieure
L’ensemble $A$ est majoré s’il existe un nombre réel $d$ tel que tous les éléments de $A$ soient inférieurs à d. En d’autres termes, pour tout $x\in A$, on a $x \le d$. $A$ est alors dit être majoré par $d$ et $d$ est un majorant de A.
Remarquons que si $d$ est un majorant de A, alors tout $d’ > d$ est également un majorant de $A$. Cela implique que $A$ peut avoir une infinité de majorants. Le plus petit des majorants revêt une importance particulière parmi cet ensemble.
Le plus petit des majorants de $A$ est appelé la borne supérieure de $A$, notée $\sup(A)$. Ainsi, $\sup(A)$ est un majorant de $A$ et il est le plus petit parmi tous les majorants de $A$.
Propriété de la borne supérieure: Toute partie $A\subset \mathbb{R}$ non vide et majorée par un nombre réel, admet borne supérieure $\mathbb{R}$.
Cette propriété n’est pas vérifiée dans l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$. En utilisant la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, il est possible de démontrer que l’ensemble non vide $$ A=\{x\in \mathbb{Q}^+: x^2 \le 2 \}\subset \mathbb{Q}$$ ne possède pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$. En réalité, $A$ a une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ qui est $\sqrt{2}$, ce qui constitue un exercice classique.
Caractérisation de la borne supérieure par les suites
Pour qu’un nombre réel $M$ soit la borne supérieure de $A$, deux conditions sont requises. Tout d’abord, $M$ doit être un majorant de $A$. De plus, si l’on soustrait un petit nombre $\varepsilon > 0$ de $M$, le résultat $M -\varepsilon$ ne doit plus être un majorant de $A$. Cette observation nous conduit au résultat suivant, qui offre la caractérisation de la borne supérieure dans $\mathbb{R}$.
Caractérisation de la borne supérieure: Soit $A\subset \mathbb{R}$ tel que $A\neq \emptyset$ et soit $M\in\mathbb{R}$. Alors \begin{align*} M=\sup(A)\Leftrightarrow \begin{cases} \forall x\in A,\; x\le M,\cr \forall \varepsilon>0,\;\exists x_\varepsilon\in A,\;M -\varepsilon < x_\varepsilon\le M.\end{cases}\end{align*}
De plus, la caractérisation de la borne supérieure peut être établie à travers l’utilisation des suites de nombres réels. Ainsi, $M = \sup(A)$ si et seulement si $M$ est un majorant de $A$ et qu’il existe une suite $(x_n)_n\subset A$ telle que $x_n$ tende vers $M$ lorsque $n$ tend vers l’infini (en choisissant $\varepsilon=\frac{1}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$). Par conséquent, nous avons$\sup(A)\in \overline{A}$, où $\overline{A}$ est l’adhérence de $A$. Comme $\overline{A}=A$ si et seulement si $A$ est fermé, alors $\sup(A)\in A$ seulement si l’ensemble $A$ est fermé. Il est important de noter que l’on ne peut pas conclure que $\sup(A)$ est un élément de $A$ pour tous les ensembles $A$.
Remarque: Soit $A\subset \mathbb{R}$ tel que $A\neq\emptyset$ et soit $M$ un majorant de $A$ tel que $M\in A$. Alors $M=\sup(A)$.
On pose $x_n=M$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. On a alors $x_n\to M$ quand $n\to\infty$. Comme $M\in A$, alors $(x_n)_n\subset A$. Et par hypothese on a $M$ est majorant de $A$. Donc d’apres la caractérisation de la borne supérieure par les suites, on a $M=\sup(A)$.
Exemple: Il est claire que $1$ est un majorant de $]0,1]$. De plus on a $1\in ]0,1]$. Donc $1=\sup(]0,1])$.
Borne Inférieure
L’ensemble $A$ est minoré s’il existe un nombre réel $c$ tel que tous les éléments de$A$ soient supérieurs à $c$. Autrement dit, pour tout $x\in A$, on a $x\ge c$. $A$ est alors dit être minoré par $c$ et est un minorant de $A$.
Il est intéressant de noter que si $c$ est un minorant de $A$, alors tout $c’ < c$ est également un minorant de $A$. Cela indique que $A$ peut avoir une infinité de minorants. Parmi ces minorants, le plus grand joue un rôle significatif.
Le plus grand des minorants de $A$ est appelé la borne inférieure de $A$, notée $\inf(A)$. Ainsi, $\inf(A)$ est un minorant de $A$ et il est le plus grand parmi tous les minorants de $A$.
Propriété de la borne inférieure: Toute partie $A\subset \mathbb{R}$ non vide et minorée par un nombre réel, admet borne inférieure dans $\mathbb{R}$.
Pour qu’un nombre réel $m$ soit la borne inférieure de $A$, deux conditions sont requises. Tout d’abord, $m$ doit être un minorant de $A$. De plus, si l’on ajout un petit nombre $\varepsilon > 0$ de $m$, le résultat $m -+\varepsilon$ ne doit plus être un minorant de $A$. Cette observation nous conduit au résultat suivant, qui offre la caractérisation de la borne inférieure dans $\mathbb{R}$.
Caractérisation de la borne inférieure: Soit $A\subset \mathbb{R}$ tel que $A\neq \emptyset$ et soit $m\in\mathbb{R}$. Alors \begin{align*} m=\inf(A)\Leftrightarrow \begin{cases} \forall x\in A,\; x\ge m,\cr \forall \varepsilon>0,\;\exists y_\varepsilon\in A,\;m \le y_\varepsilon < m+\varepsilon.\end{cases}\end{align*}
De manière similaire à la borne supérieure, nous pouvons caractériser la borne inférieure en utilisant des suites de nombres réels. Ainsi $m=\inf(A)$ si et seulement si $m$ est un minorant de $A$ et il existe une suite $(y_n)_n\subset A$ telle que $y_n\to m$ quand $n\to\infty$. Comme pour la borne supérieure, on a $\inf(A)\in \overline(A)$.
Exercices corrigés sur les bornes supérieure et inférieure
Exercice 1: Trouve les bornes de l’ensemble $$A=\left\{\frac{1}{n}: n\in\mathbb{N}^\ast\right\}.$$
On a $A\subset \mathbb{R}$ et $\frac{1}{2}\in A$, donc $A\neq \emptyset$.
$\bullet$ Pour tout $ n\in\mathbb{N}^\ast$ on a $\frac{1}{n}\le 1$, donc $1$ est un majorant de $A$. De plus on a $1= \frac{1}{1}\in A$. Donc un majorant qui appartient a l’ensemble $A$ est le sup de $A$. Ainsi $1=\sup(A)$.
$\bullet$ Il est claire que $0$ est plus petit que tout les éléments de $A$. Donc $0$ est un minorant. Montrons que $0=\inf(A)$. Par l’absurde suppons le contraire. Donc il existe un autre minorant $r>0$, et donc $r\in ]0,1[$. Soit un entier $N> E(\frac{1}{r})+1>\frac{1}{r}$. On a alors $\frac{1}{N} < r$, ce qui contredit le fait que $r$ est un minorant de $A$, vue que $\frac{1}{N}\in A$.
Une autre façon plus simple de prouver ce résultat est de considérer la suite $y_n=\frac{1}{n}\in A$ pour tout $n\ge 1$. Comme $0$ est un minorant de $A$ et que $y_n\to 0$ quand $n\to\infty$ alors $0=\inf(A)$.
Exercice 2: Determiner les bornes superieure et inferieure de l’ensemble suivant: $$C=\left\{\frac{n}{2^n}: n\in\mathbb{N}\right\}.$$
Tout d’abord on a $0=\frac{0}{2^0}\in C$ donc $C\neq \emptyset$
Notez que pour $n=1$ nous avons $\frac{n}{2^n}=\frac{1}{2}$. Si $n=2$, alors $\frac{n}{2^n}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, Nous montrons maintenant par récurrence que pour tout $n \ pour 2$, nous avons $\frac{n}{2^n}\le \frac{1}{2}$. Supposons en effet que la propriété de récurrence soit vraie à l’ordre $n$ et montrant l’ordre $n+1$. Nous calculons \begin{align*}\frac{n+1}{2^{n+1}}&=\frac{1}{2} \left( \frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n} \right)\cr & \le \frac{1}{2} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}. \end{align*}
En deduit donc que $\frac{1}{2}$ est un majorant de $C$ de plus $\frac{1}{2}\in C$. Ceci implique que $\frac{1}{2}=\sup(C)$.
Tout les elements de $C$ sont plus grand que $0$, ce qui montre que $0$ est un minorant de $C$. De plus si on pose $y_n=\frac{n}{2^n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, alors $(y_n)_n\subset C$ et $$ \lim_{n\to\infty}y_n=0.$ Donc $0=\inf(C)$.
