Fonctions dérivables: Cours

Les fonctions dérivables jouent un rôle central en mathématiques et en sciences. Elles permettent de comprendre comment une fonction change à mesure que sa variable indépendante évolue. Ce cours exhaustif vous guidera à travers les concepts clés des fonctions dérivables, de leurs propriétés fondamentales à leurs applications pratiques.

Introduction aux fonctions dérivables

L’essence de la dérivation réside dans la compréhension de la manière dont une fonction évolue au fur et à mesure que sa variable indépendante change. Soit$f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction. La dérivée de$f$ en un point$x_0$ est une mesure du taux de variation instantané de $f$ à ce point. Intuitivement, la dérivée nous permet de capturer le comportement local de la fonction, montrant comment elle « fluctue » autour du point $x_0$.

Definition de la dérivée

Commencons ce cours sur les fonctions dérivables par donner la definition mathématique de la dérivée d’une fonction.

Si on pose $h=x-x_0$, et si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0).$$ Ceci nous conduit la caracterisation suivante de la dérivée: Une fonction $f$ est dérivable au point $x_0\in I$ si et seulement si il existent $L\in \mathbb{R}$ et $\varepsilon h\mapsto \varepsilon(h)$ tels que $\varepsilon(h)\to 0$ quand $h\to 0$ et $$ f(x_0+h)=f(x_0)+L h+h\varepsilon(h).$$ Ici $L$ coincide avec $f'(x_0)$. Cette formule est appelée le développement limité d’ordre $1$ de la fonction $f$ au point $x_0$.

Remarque: Si $f$ est dérivable au point $x_0$, alors elle est aussi continue en $x_0$. Donc la continuité est une condition necessaire pour la derivee d’une fonction.

Explorez des exercices sur les fonctions dérivables et démontrez leur continuité tout en identifiant les points où elles sont non dérivables.

Si $f$ est dérivable sur $I$, alors on peut definition une fonction $f’:I\to \mathbb{R},$ $x\mapsto f'(x)$, appelée la fonction derivée de $f$. Si de plus $f’$ est continue sur $I,$ alors $f$ est dite continuement dérivable sur $I$ ou de classe $C^1$ sur $I$, et on note $f\in C^1(I)$.

Règles de dérivation pour les fonctions dérivables

Les règles fondamentales de la dérivation sont essentielles pour manipuler les dérivées des fonctions. Quelques règles importantes incluent :

1. Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $I$ alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables sur $I$ et on a : \begin{align*}& (f+ g)’=f’+g’\cr & (fg)’=f’g+fg’.\end{align*}
2. Soent $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $x_0$ tels que $g(x_0)\neq 0$, alors le quotient $\frac{f}{g}$ est dérivable en $x_0$ et $$ \left( \frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$
3. On se donne deux fonctions $f:I\to\mathbb{R}$ et $g:J\to\mathbb{R}$ tel que $f(I)\subset J$. On suppose que $f$ esr dérivable en un point $x_0\in I$ et $g$ dérivable en $f(x_0)$ alors la fonction $g\circ f: I\to \mathbb{R}$ est dérivable en $x_0$ et on a $$ (g\circ f)'(x_0)=f'(x_0) g'(f(x_0)).$$
4. On suppose que $f:I\to \mathbb{R}$ est bijective sur $I$, derivable en $a$ tel que $f'(a)\neq 0$. Alors la fonction reciproque $f^{-1}$ est derivable en $b=f(a)$ et on a $$ \left(f^{-1} \right)'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$

Les règles de dérivation sont des outils puissants pour manipuler les dérivées de fonctions. La règle de la somme, la règle du produit et la règle de la chaîne permettent de dériver des fonctions complexes en utilisant les dérivées de fonctions plus simples. Les fonctions élémentaires telles que les polynômes, les exponentielles, les logarithmes et les fonctions trigonométriques ont des dérivées bien définies, facilitant le calcul des dérivées dans divers contextes.

Extremum local en un point

Dans un cours sur les fonctions dérivables, il est essentel de discuter le extrema des fonctions. En effetm L’extremum local en un point est un concept fondamental en analyse mathématique qui décrit les valeurs maximales et minimales qu’une fonction peut atteindre dans un voisinage immédiat d’un point spécifique. Formellement

Mathématiquement, ces notions sont exprimées comme suit : si $f:I\to\mathbb{R}$ et $x_0\in I$. Alors $f$ admet un

1. minimum local en $x_0$ si il existe $\beta>0$ tel que $$ f(x)\ge f(x_0),\quad \forall x\in I\cap ]x_0-\beta,x_0+\beta[.$$
2. maximum local en $x_0$ si il existe $\beta>0$ tel que $$ f(x)\le f(x_0),\quad \forall x\in I\cap ]x_0-\beta,x_0+\beta[.$$
3. extremum local en $x_0$ si elle est minimum local ou maximum local en $x_0$.

Théorème de Rolle

Le Théorème de Rolle est un résultat fondamental de l’analyse mathématique qui établit une relation entre les propriétés de dérivabilité d’une fonction et la valeur de sa dérivée.

Théorème des Accroissements Finis

Un des grand théorème du cours sur les fonctions dérivables est le théorème des Accroissements Finis. C’ est l’un des piliers fondamentaux de l’analyse mathématique. Introduit par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, ce théorème établit une relation cruciale entre la dérivée d’une fonction continue et les taux de variation sur un intervalle donné.

L’interprétation géométrique du Théorème des Accroissements Finis est particulièrement instructive. La première forme (égalité) nous dit que, à un certain point $c$ dans l’intervalle $]a,b[$, la pente de la tangente en $c$ est égale à la pente de la corde reliant les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$.