Les suites de fonctions sont un sujet important en mathématiques, en particulier en analyse réelle. Elles sont utilisées pour étudier le comportement de fonctions lorsque la variable indépendante varie. Voici un cours de base sur les suites de fonctions, suivi de quelques exemples pour illustrer les concepts.
Donc le rest de ce cours sur les suite de fonctions, on note par $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions de $I\subseteq\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. De plus on note par $\mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ l’ensembles des fonctions bornées de $I$ dans $\mathbb{R}$.
Types de convergences de suites de fonctions
Difference entre suite de nombres et suite de fonctions
Avant de plonger dans le sujet, il est essentiel de comprendre ce qu’est une suite de fonctions. Jusqu’à présent, nous avons exploré les suites de nombres réels, représentées comme des éléments de $\mathscr{F}(\mathbb{N},\mathbb{R})$. En analogie, une suite de fonctions est une entité de $\mathscr{F}(\mathbb{N},\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R}))$, où $I\subseteq \mathbb{R}$. Ainsi, les éléments de cette suite sont des fonctions notées $f_n\in \mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$, et elle sera désignée sous la forme $(f)_n$.
Convergences simple et uniforme
En mathématiques, le concept de convergence est étroitement lié à la notion de distance (métrique) entre les objets. Dans le cas des suites de nombres réels, la convergence est déterminée à l’aide de la valeur absolue, qui définit la distance entre les éléments de $\mathbb{R}$. En analogie, pour une suite de fonctions, il est essentiel de définir une notion de distance dans l’espace $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$.
En effet, dans ce contexte, la distance entre deux fonctions, notées $f$ et $g$ dans $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$, correspond à la distance entre leurs graphes. Ainsi, dire que $f$ est proche de $g$ revient à signifier deux choses : premièrement, que chaque point du graphe de $f$, $(x, f(x)),$ est proche de son homologue dans le graphe de $g,$ $(x, g(x))$, ce qui caractérise la convergence ponctuelle. Deuxièmement, cela peut également signifier que les deux graphes de $f$ et $g$ sont contenus dans une bande de largeur très étroite, ce qui caractérise la convergence uniforme. On a les definitions suivantes:
Condition suffisante: Soient $(f_n)$ et $f$ des fonctions dans $\mathscr{F}(\mathbb{I},\mathbb{R})$. Alors:
- On dit que la suite de fonction $(f_n)$ converge simplement vers $f$ si: \begin{align*} \forall \varepsilon>0,\;\forall x\in I,\;\exists &n_0\in \mathbb{N}\; \text{tel que}\cr n\ge n_0 &\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon. \end{align*}
- La suite de fonction $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si: \begin{align*} \forall \varepsilon>0,\;\exists &n_0\in \mathbb{N}\; \text{tel que},\;\forall x\in I,\cr n\ge n_0 &\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon. \end{align*}
Remarque: si $f,g\in \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ sont des fonctions bornées, alors la distance entre $f$ et $g$ est définie part: $$ \|f-g\|_{\infty,I}:=\sup_{x\in I}|f(x)-g(x)|.$$ Alors la convergence uniforme pour une suite de fonctions $(f_n)\subset \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ vers une une fonction $f\in \mathscr{F}_b(\mathbb{I},\mathbb{R})$ est caractérisé par $$ \lim_{n\to\infty} \|f_n-f\|_{\infty,I}=0.$$
Conséquence de la convergence uniforme des suites de fonctions
Conservation de la continuité
La question cruciale est de savoir si une suite de fonctions continues, notée $(f_n)$, converge vers une fonction $f$, est-ce que cette fonction limite est également continue ? Pour aborder cette question, prenons un exemple simple. Considérons la suite de fonctions $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ définie par $f_n(x)=x^n$ pour tout $x\in [0,1]$. Il est important de noter que les fonctions $f_n$ sont continues sur l’intervalle $[0,1]$.
Cependant, cette suite converge simplement vers une fonction limite, notée $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, qui est discontinue. Cette fonction limite est définie comme suit : $$ f(x)=\begin{cases} 0,& x\in [0,1[,\cr 1, & x=1.\end{cases}$$ Ainsi, dans ce cas, la convergence simple ne préserve pas la continuité de la fonction limite. De plus, on peut démontrer que la suite de fonctions $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément.
Ce contre-exemple met en évidence le fait que la convergence de suites de fonctions peut être complexe, et que la convergence simple ne garantit pas toujours la continuité de la fonction limite. De plus, il illustre également la nécessité de distinguer entre la convergence simple et la convergence uniforme lors de l’analyse des suites de fonctions.
Théorème: Si chaque fonction $f_n$ est continue sur $I$ et que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $f$ est également continue sur I.
La convergence uniforme de la suite de fonctions, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in \mathbb{N}$ (assez grand) tel que pour tout $y\in I$ on a $|f_N(y)-f(y)|\le \varepsilon$. D’autre part, soit $a\in I$. Comme $f_N$ est continue en $a$, alors il existe $\eta>0$ tel que pour tout $x\in I$ avec $|x-a|\le \eta$ on a $|f_N(x)-f_N(a)|\le \varepsilon$. Par l’inégalité triangulaire, nous avons \begin{align*} |f(x)-f(a)|&\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)+ | f_N(a)-f(a)|\cr & \varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon,\end{align*}dès que $|x-a|\le \eta$. Ainsi $f$ est continue en $a$.
Permutation limite/intégrale
On rappelle que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est bornée (théorème de Heine) et elle est intégrable sur $[a,b]$.
Théorème: Si chaque fonction $f_n$ est continue sur $[a,b]$ et que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]I$, alors $$ \lim_{n\to\infty} \int^b_a f_n(t)dt=\int^b_a \lim_{n\to\infty} f_n(t)dt=\int^b_a f(t)dt.$$
Comme pout tout $t\in [a,b]$ on a $|f_n(t)-f(t)|\le \|f_n-f\|_\infty$, alors \begin{align*} \left| \int^b_a f_n(t)dt-\int^b_a f(t)dt\right|& \le \int^b_a |f_n(t)-f(t)| dt\cr & \le (b-a)\|f_n-f\|_\infty.\end{align*}. Ceci termine la preuve!
Dérivabilité et convergence uniforme de suites de fonctions
Une fonction $g$ est dite de classe $C^1$ sur un intervalle $I$, si elle est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est continue si $I$.
Théorème: : Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions telle que chaque fonction $f_n$ est de classe $C^1$ sur $I$. De plus on suppose qu’il existe une fonction $g:I\to\mathbb{R}$ telle que
- $(f_n)_n$ converge simplement vers une fonction $f$
- la suite de fonctions derivées $(f’_n)_n$ converge uniformément vers $g$ sur tout segment contenu dans $I$. Alors la fonction est de classe $C^1$ sur $I$ et $f’=g$.
Ce résultat joue un rôle important dans les exercices sur les suites de fonctions.
De plus, étant donné que nous avons défini une notion de convergence pour les suites de fonctions, nous pouvons désormais aborder la notion de séries de fonctions.
