Nous proposons des exercices corrigés sur les groupes quotients. Ces groupes, également appelés groupes factoriels ou groupes cocyliques, sont un concept fondamental en théorie des groupes. Ils sont utilisés pour étudier la structure des groupes en relation avec leurs sous-groupes normaux. Voici une introduction aux groupes quotients :
Définition et propriété d’un groupe de quotient
Sous-groupe normal
Un sous-groupe $H$ d’un groupe $G$ est dit normal ou distingué s’il satisfait à la condition suivante : forall $g \in G,\; gHg^{-1} = H$. En d’autres termes, si vous conjuguez les éléments de $H$ par n’importe quel élément de $G$, vous obtiendrez toujours un élément de $H$. On note cela $H\triangleleft G$.
Proposition: Soient $G$ et $G’$ deux groupes d’éléments neutres $e$ et $e’$, respectivement. Si $f:G\to G’$ est un morphisme de groupe alors $\ker(f)\triangleleft G$
Soient $g\in G$ et $h\in \ker(f)$. En particulier, on a $f(h)=e’$ et $f(g)f(g^{-1})=f(gg^{-1})=e’.$ D’autre part, $$ f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1})=f(g)f(g^{-1})=e’.$$ Donc $ghg^{-1}\in\ker(f)$.
Structure de groupe quotient
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $H$ un sous groupe de $G$. Pour $x,y\in G$ nous définissons la relation binaire suivante $$ x\mathscr{R}y \Longleftrightarrow x^{-1}\cdot y\in H.$$Il est bien évident que $\mathscr{R}$ est une relation d’équivalence sur $G$. L’ensemble des quotients associé à cette relation $G/\mathscr{R}$ sera noté $G/H$. Nous avons alors $$ G/H=\{gH: g\in G\}.$$ Nous avons $gH$ qui est appelé la classe classe à gauche de l’élément $g$ de $G$. De même, $Hg$ est appelé la classe à droite de $g$.
Il est facile de montrer que pour tout $g\in G$, l’application $f:H\to gH$ telle que $f(h)=gh$ est bijective. Ceci implique que les enemble $H$ et $gH$ ont même cardinal ($|H|=|gH|$).
Théorème de Lagrange: Soit $G$ un groupe fini. Si $H$ est un sous groupe de $G$, alors le cardinal de $H$ divise celui de $G$. On notera $|G/H|$ où $[G:H]$ le nombre $|G|/|H|$. De plus, $[G:H]$ s’appelle l’indice de $H$ dans G
On peut voir $G$ comme une partition construite à travers les classes d’équivalence selon la relation $\mathscr{R}$. Donc on a $$ G=\cup_{g\in G}gH.$$ Comme par hypothèse le groupe $G$ est fini, alors il existe un entier naturel $n$ tel que $G=\{g_1,\cdots,g_n\}$. Ainsi $$ G=\{g_1H,\cdots,g_nH\}.$$ Mais on a deja vue que $|H|=|g_iH|$ pour tout $i\in\{1,2,\cdots,n\}$. Donc $|G|=n |H|$.
Proposition: Soit $G$ un groupe et $H$ un sous groupe de groupe $G$. Les classes à gauche et à droite de la relation d’équivalence héritée de $H$ coïncident si et seulement si $H$ est normal dans $G$.
« \Longrightarrow » Nous supposons que pour tout $g\in G$ $gH=Hg$. Donc pour tout $h\in H$, nous avons $gh\in Hg$. Il existe donc $k\in H$ tel que $gh=kg$. En multipliant par $g^{-1}$, on obtient $ghg^{-1}=k\in H$. Ce qui montre que $H$ est normal en $G$.
« \Longleftarrow » On suppose que $H\triangleleft G$. Donc pour tout $g\in G$, et tout $h\in H$, on a $ghg^{-1}\in H$. Ainsi $gh\in Hg$. Par suite $gH\subset Hg$. Mais notre discussion en haut, $|H|=|gH|=|Hg|$. Ainsi $gH= Hg$
On définit une opération sur G/H par $$ (gH)(kH) = (gk)H,\quad g,k\in G.$$ Muni de cette opération $G/H$ est un groupe si et seulement si le sous groupe $H$ est distingué. Il est est appelé un groupe quotient.
Exercices corrigés sur les groupes quotients
Exercice: Soient $G$ un groupe et $H,K$ deux sous groupes de $G$ tels que $H\triangleleft G$ et $K\triangleleft G$. Montrer que sous groupe engendré par $H\cup K$ est normal.
Soit $g\in G$ et $x\in \langle H\cup K\rangle$. D’apres la definition d’un groupe engendré par une partie, on a $$ x=h_1^{\tau_1}\cdots h_n^{\tau_n}k_1^{\mu_1}\cdots k_m^{\mu_m},$$ avec $h_i\in H$, $\tau_i=\pm 1$, $k_j\in K$, $\mu_j=\pm1$ pout $i=1,\cdots,n$ et $j=1,\cdots,m$. Comme les sous groupes $H$ et $K$ sont normaux dans $G$, alors pour tout $i,j$ ona $ g^{-1}h_i^{\tau_i}g\in H$ et $g^{-1}k_j^{\mu_j}g\in K$. Ainsi $$ g^{-1}xg=(g^{-1}h_1^{\tau_1}g)\cdots (g^{-1}h_n^{\tau_n}g)(g^{-1}k_1^{\mu_1}g)\cdots (g^{-1}k_m^{\mu_m}g)\in \langle H\cup K\rangle.$$
