Nous proposons un cours complet accompagné d’exercices corrigés passionnants, axés sur le fascinant domaine des ensembles dénombrables. Plongeons dans l’univers captivant de la cardinalité et de la comptabilité des ensembles infinis, en explorant en détail leur définition, leurs propriétés essentielles et leurs applications variées.
Définition et proprietes des ensembles dénombrables
Un ensemble $A$ est dit dénombrable s’il existe une bijection (correspondance un à un) entre les éléments de $A$ et les nombres naturels. Autrement dit, un ensemble est dénombrable s’il peut être « compté » de manière infinie tout en attribuant à chaque élément un numéro naturel distinct.
Exemples Concrets :
Soit $\mathbb{N}$ l’ensemble des nombres naturels et $k\ge 1$ un entier. Alors $\mathbb{N}$ est un ensemble dénombrable.
Pour $k=1$, on a $\mathbb{N}$ est denombrable. En effet, il suffit de prendre la bijection $\psi_1:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ et $f(n)=n$.
Pour $k=2$, on definie une fonction $\psi_2$ par: $\psi_2(0)=(0,0)$, $\psi_2(1)=(1,0)$, $\psi_2(2)=(0,1)$, $\psi_2(3)=(2,0)$, $\psi_2(4)=(1,1)$, $\psi_2(5)=(0,2)$, $\psi_2(6)=(3,0)$,….Maintenant pout tout $n\in\mathbb{N}$ et $0\le m\le n$, on pose $$ \psi_2\left(\frac{n(n+1)}{2}+m\right)=(n,m).$$ Ceci montre que $\mathbb{N}^2$ est dénombrable.
Considérons la carte $\psi_3:\mathbb{N}^2\to \mathbb{N}^3$ avec $\psi_3(n,m)=(n,\psi_2(m))$. Donc $\psi_3$ est une bijection. Ce qui montre que $\mathbb{N}^3$ est dénombrable. Par récurrence, il est facile de montrer que $\mathbb{N}^k$ est dénombrable.
Le produit d’un nombre fini des ensembles dénombrables est dénombrable
Soit $E_1,E_2,\cdots,E_k$ des ensembles dénombrables et soit $f_i:E_i\to \mathbb{N}$ des bijections pour tout $i\in\{1,2,\cdots,k\}$. L’application $f:E_1\times\cdots\times E_k\to \mathbb{N}^k$ définie par $$ f(x_1,\cdots,x_k)=(f_1(x_1),\cdots,f_k(x_k ) )$$ est bijectif. Ainsi $E_1\times\cdots\times E_k$ est dénombrable.
L’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ est dénombrable, car chaque entier peut être associé à un nombre naturel en utilisant une correspondance astucieuse.
Pour montrer que l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ est dénombrable, nous allons établir une correspondance bijective entre les entiers et les nombres naturels. Cette correspondance astucieuse est souvent appelée « fonction de couplage » ou « diagonalisation ». Voici comment cela fonctionne :
Considérons la séquence suivante d’entiers : $$ 0,-1,1,-2,2,\cdots,-n,n,\cdots$$
Nous pouvons voir que chaque entier apparaît exactement une fois dans cette séquence. Maintenant, pour établir la correspondance avec les nombres naturels, nous associerons chaque entier à sa position dans cette séquence. En général, l’entier $n$ est en position $2n – 1$, et l’entier $-n$ est en position $2n$ dans la séquence.
Maintenant, nous pouvons construire une fonction $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ qui associe chaque entier à sa position dans la séquence. Formellement : $$ f(n)=\begin{cases} 2n-1,& n\ge 1,\cr -2n,& n \le 0.\end{cases}$$
Cette fonction est une correspondance bijective entre les entiers relatifs et les nombres naturels. Chaque entier est associé à un unique nombre naturel, et chaque nombre naturel est associé à un unique entier.
La démonstration ci-dessus illustre comment une correspondance astucieuse entre les entiers relatifs et les nombres naturels permet d’établir la dénombrabilité de l’ensemble $\mathbb{Z}$. Cette méthode de correspondance est un exemple de la façon dont les mathématiques peuvent transformer des concepts apparemment complexes en des structures plus familières, permettant ainsi d’explorer les propriétés des ensembles infinis de manière rigoureuse.
L’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est également dénombrable, car chaque fraction peut être reliée à une paire d’entiers.
Tout nombre rationnel peut être écrit de manière unique sous la forme $x=\frac{p}{q}$, où $q\ge 1$ et $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Ainsi, nous avons construit un mappage biunivoque $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ . Puisque $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{N}$ sont dénombrables, alors $\mathbb{Z}\times\mathbb{N} $, et donc $\mathbb{Q}$ est également dénombrable.
Propriétés et Subtilités
- L’union, l’intersection et les images inverses d’ensembles dénombrables sont également dénombrables.
- Les sous-ensembles d’ensembles dénombrables peuvent être finis, dénombrables ou non dénombrables.
Applications et Importance :
- L’ensemble dénombrable est un outil fondamental dans l’étude de la taille des ensembles infinis. Il permet de comprendre comment différents ensembles infinis peuvent être comparés en termes de cardinalité.
- Dans la théorie des ensembles, les ensembles dénombrables sont essentiels pour définir ce qu’est un ensemble fini, dénombrablement infini ou non dénombrablement infini.
- Les ensembles dénombrables sont utilisés pour établir des résultats dans la topologie, la mesure et la probabilité.
L’ensemble dénombrable est un concept qui transcende les frontières entre l’arithmétique, l’analyse et la théorie des ensembles. Il nous invite à explorer la complexité des ensembles infinis tout en nous offrant des outils pour les comparer et les caractériser. Comprendre ce concept est une étape cruciale dans le cheminement mathématique, offrant des idées et des perspectives profondes qui enrichissent notre compréhension des ensembles et de leurs propriétés.
Exercices corrigés sur des ensembles dénombrables
Exercice 1: Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.
On note $\mathbb{N}_d[X]$ l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $d$ à coefficients constants. A chaque $P\in \mathbb{N}_d[X]$ on associe la suite $(a_0,a_1,\cdots,a_d)$ de ses coefficients. entiers est dénombrable. On a donc construit une bijection de $\mathbb{N}_d[X]$ sur $\mathbb{Z}^{d+1}$. Comme $\mathbb{Z}^{d+1}$ est dénombrable alors $\mathbb{N}_d[X]$ est dénombrable. D’autre part, l’ensemble des polynômes à coefficients entiers est $ \cup_{d\in\mathbb{N}} \mathbb{N}_d[X]$, il est aussi dénombrable.
Exercice 2: Montrer que l’ensemble des sous-ensembles finis de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
Pour chaque $n\in\mathbb{N}$, on pose $$ \mathscr{F}_n:=\{A\subset \mathbb{N}: |A|=n\}.$$ Si $\mathscr{F}$ est l’ensemble des sous-ensembles finis de $\mathbb{N}$, alors $$\mathscr{F}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathscr{F}_n.$$ Il suffit donc de montrer que pour chaque $n$, $\mathscr{F}_n$ est dénombrable. En effet, soit $\Phi: \mathscr{F}_n\to \mathbb{N}^n$ l’application definie par: pour chaque $A\in \mathscr{F}_n$, $$ \Phi(A)=\{ (a_0,a_1,\cdots,a_n): a_i\in A,\;\forall i\}\in \mathbb{N}^n.$$ C’est une bijection. Ce qui montre que $\mathscr{F}_n$ est dénombrable, vue que $\mathbb{N}^n$ est dénombrable.
