Plongez dans le passionnant domaine du calcul des primitives et des exercices corrigés, où nous vous présentons un résumé clair de cette discipline fondamentale du calcul intégral. Pour les élèves en terminale scientifique et les étudiants en première année de classes préparatoires et d’université, cet article offre une opportunité d’approfondir vos compétences en techniques de calcul.
Les Fondements du Calcul des Primitives
Le calcul des primitives, inverse de la dérivation, trouve des applications dans divers domaines.
Une primitive d’une fonction $f:D\to \mathbb{R}$ est une fonction derivable $F:D\to \mathbb{R}$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in D$.
Cette relation simple revêt une importance capitale, permettant de déterminer des grandeurs comme l’aire sous une courbe ou le calcul de quantités physiques.
Si $F$ représente une primitive de $f$, alors $F+c$ est également une primitive de $f,$ $c$ étant une constante. De même, si $F$ et $G$ sont deux primitives d’une même fonction $f,$ alors $(F-G)’=f-f=0,$, ce qui conduit à $F-G=c,$ où $c$ est une constante constante.
Lorsque la fonction $f$ est continue, alors on a le Théorème fondamental du calcul intégral suivant :
Théorème: Soit $f:D\to\mathbb{R}$ est une fonction continue sur $D$. Alors pour tout $x_0\in D$, la fonction suivante $$ F:D\to\mathbb{R},\quad F(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt$$ est dérivable sur $D$ et $F’=f$ sur $D$.
Techniques de Calcul des Primitives
Pour évaluer efficacement les primitives, plusieurs techniques s’avèrent indispensables. En effet, un calcul direct peut parfois suffire si la fonction possède une expression simple, comme c’est le cas pour les fonctions polynomiales. Cependant, lorsque la forme de la fonction devient un peu plus complexe, deux autres méthodes se révèlent particulièrement utiles, comme décrit dans les paragraphes suivants :
Intégration par parties
Cette méthode se base sur la formule du produit de Leibniz pour la dérivation, et permet de transformer des intégrales de produits en intégrales plus accessibles.
Avant de présenter la formule d’intégration par parties, il est crucial d’établir une clarification préalable. En effet, une fonction $f$ est qualifiée de continûment dérivable sur $D,$ ou appartient à la classe $C^1(D),$ si elle est dérivable sur $D$ et si sa dérivée $f’$ est continue sur $D$.
Théorème: Soient $u,v:D\to\mathbb{R}$ deux fonctions de classe $C^1(D)$. Alors pour tout $a,x\in D$, $$ \int^x_a u'(t)v(t)dt=\left[u(t)v(t)\right]^x_a-\int^x_a u(t)v'(t)dt,$$ avec $$ \left[u(t)v(t)\right]^x_a=u(x)v(x)-u(a)v(a).$$
Changements de Variables
L’introduction d’une nouvelle variable peut simplifier considérablement certaines intégrales complexes.
Théorème: Soient $\varphi:D\to\mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1(D)$ et $f$ une fonction continue sur $f(D)$. Alors pour tout $a,x\in D$, $$ \int^{\varphi(x)}_{\varphi(a)} f(s)ds=\int^x_a f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Exercices corrigés sur le calcule primitives
Produit de l’exponentielle avec les fonctions trigonométriques
Exercice: Calculer les primitive suivante: $$ I=\int^x_0 \sin(t)e^tdt,\quad J=\int^x_0 \cos(t)e^tdt.$$
Remarquons que $$ (\sin(t)e^t)’=\cos(t)e^t+\sin(t)e^t, \quad t\in\mathbb{R}.$$ Donc $$ I+J=\left[ \sin(t)e^t \right]^x_0=\sin(x)e^x.$$ Ainsi avec cette égalite, il suffit de calculer $I$ ou bien $J$. En effet, par integration par parties, on a \begin{align*} J&=\int^x_0 (\sin(t))’e^tdt\cr & =\left[ \sin(t)e^t \right]^x_0-\int^x_0 \sin(t)e^tdt\cr &= \sin(x)e^x+\int^x_0 (\cos(t))’e^tdt\cr &= \sin(x)e^x+\left[ \cos(t)e^t \right]^x_0-\int^x_0 \cos(t)e^tdt\cr &=\sin(x)e^x+\cos(x)e^x-1-J. \end{align*} Donc $$ J=\frac{(\sin(x)+\cos(x))e^x-1}{2}.$$ On a alors $$ I=\sin(x)e^x-J=\frac{(\sin(x)-\cos(x))e^x+1}{2}.$$
Fonctions intégrales
Exercice: Soit la fonction $$ g(x)=\int^x_{\frac{1}{x}} e^{\sqrt{t}}dt.$$
- Determiner le domaine de definition $D_g$ de la fonction $g$.
- Montrer que $g$ est derivable sur $D_g$, et calculer $g’$.
- On pose $$ f(t)=e^{\sqrt{t}},\quad D_f=[0,+\infty[.$$ Pour que les bornes de l’intégrale soient bien définies, deux choses sont nécessaires : $x\neq 0$ et l’intervalle d’extrémité $x$ et $\frac{1}{x}$ sont inclus dans $D_f$ . Donc $D_g=]0,+\infty[.
- Comme $f$ est continue sur $D_f$, alors $f$ admet une primitive $F$ et $F’=f$. Donc pour tout $x>0$, $$ g(x)=\int^x_{\frac{1}{x}}F'(t)dt=F(x)-F(\frac{1}{x}).$$ Ainsi $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, en somme et composé de fonctions dérivables. De plus, pour tout $x>0$, \begin{align*} g'(x)&=f(x)- (\frac{1}{x})’f(\frac{1}{x})\cr &= e^{\sqrt{x}}+\frac{e^{\frac{1}{\sqrt{x}}}}{x^2}.\end{align*}
