Les suites géométriques font partie intégrante des mathématiques et jouent un rôle crucial dans divers domaines de la science, de l’économie à la physique en passant par la biologie.
Ces suites se caractérisent par une progression exponentielle et offrent une perspective fascinante sur la croissance et la décroissance dans le monde qui nous entoure.
Dans cet article, nous explorerons les bases des suites géométriques, leur formule générale, leurs propriétés et leurs applications pratiques.
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une séquence de nombres où chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant, appelé la raison de la suite (notée « r »). Proprement une suite géométrique est une suite récurrente de la forme: $$ u_{n+1}=ru_n,\quad n\ge 0.$$ Ainsi la forme générale de telle suite est: $$ u_n=u_0 r^n,\quad n\ge 0.$$
Propriétés des suites géométriques
Les suites géométriques présentent plusieurs propriétés intéressantes :
- La raison (r) détermine si la suite augmente (r > 1) ou diminue (0 < r < 1).
- Si |r| > 1, la suite croît vers l’infini (positivement ou négativement, selon le signe de r).
- Si 0 < |r| < 1, la suite converge vers 0 à mesure que n tend vers l’infini.
- Si r = 1, tous les termes de la suite sont égaux, et la suite est dite constante.
Applications des suites en finance
Dans le domaine de la finance, les intérêts composés jouent un rôle essentiel pour faire fructifier un capital initial au fil du temps. Les intérêts composés sont un concept puissant qui permet à un investissement ou à un emprunt de croître ou de diminuer de manière exponentielle en raison des intérêts accumulés sur le capital initial, ainsi que sur les intérêts précédemment acquis.
Comment fonctionnent les intérêts composés ?
Supposons que vous ayez un capital initial, appelé « principal », noté $P$. Vous placez cet argent dans un compte d’épargne, un compte de placement ou un autre instrument financier qui génère un taux d’intérêt annuel fixe, noté « taux d’intérêt » et représenté par r (exprimé en décimales plutôt qu’en pourcentages).
Au bout d’une année, votre capital initial $P$ se voit ajouter des intérêts calculés comme suit : $P \times r$. Le montant total dans le compte après une année est donc $P + P \times r$, qui peut être réécrit sous la forme de $P \times (1 + r)$.
À la fin de la deuxième année, vous gagnerez à nouveau des intérêts sur le montant total dans le compte, qui est maintenant $P \times (1 + r)$. Les intérêts supplémentaires seront alors $(P \times (1 + r)) \times r$, et le montant total après deux ans sera : \begin{align*}P \times (1 + r) + (P \times (1 + r)) \times r & = P \times (1 + r) \times (1 + r) \cr &= P \times (1 + r)^2.\end{align*}
En général, au bout de n années, le montant total dans le compte, avec des intérêts composés, est donné par : $$ P \times (1 + r)^n.$$
