Le théorème de Weierstrass, nommé en l’honneur du mathématicien allemand Karl Weierstrass, occupe une place centrale dans l’analyse mathématique. Ce théorème puissant établit des bases solides pour comprendre la continuité et la convergence des fonctions. Dans cet article, nous explorerons les tenants et les aboutissants de ce résultat fondamental.
Le théorème de Weierstrass affirme que toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné peut être approximée aussi précisément que souhaité par une séquence de fonctions polynomiales. Nous donnons une démonstration probabiliste de ce théorème basée sur une suite de polynomes de Bernstein est rappeler ici avec détails.
Rappelons qu’une preuve analytique du théorème de Weierstrass utilisant une convolution avec une gaussienne a déjà été faite par Weierstrass. Par contre, la preuve probabiliste de ce théorème est due à Bernstein.
Polynômes de Bernstein
Nous allons définir une famille de polynômes qui va aider a démontrer le théorème de Weierstrass.
Soit $n\in \mathbb{N}$ et pour tout $k\in \{o,1,\cdots,n\},$ on pose \begin{align*} B^n_k(x)=(\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix})x^k (1-x)^{n-k},\quad x\in [0,1].\end{align*} Alors $B_k^n$ est appele polynome de Bernstein
Voici une liste de propriétés satisfaites par le polynôme de Berntein :
- le degré du polynôme de Berntein $B^n_k$ est exatement $n$. De plus, pour tout $x\in [0,1],$ on a \begin{align*}\sum_{k=0}^n B^n_k(x)=1.\end{align*}
- $B^0_0(t)=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$ on a $B^n_k(0)=B^n_k(1)=0$ et \begin{align*} B_k^n(x)>0,\quad \forall x\in ]0,1[.\end{align*}
- La fonction $x\in [0,1]\mapsto B^n_k(x)$ atteint son maximum en $\frac{k}{n}$.
- Pour tout $x\in [0,1],$ on a\begin{align*}\frac{d}{dx}(B^n_k(x))=nl\left(B^{n-1}_{k-1}-B^{n-1}_k \right).\end{align*}
- Finalement, on a la relation suivante \begin{align*} B^{n+1}_{k+1}(x)=(1-x)B^{n}_{k+1}(x)+x B^n_k (x),\quad x\in [0,1].\end{align*}
On rappelle aussi que la famille $(B^n_k)_{0\le k\le n}$ est une base de l’espace vectoriel des polynômes a coefficient réels et de degré inferieur ou égale a $n,$ $\mathbb{R}_n[X]$.
Maintenant si $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ est une fonction continue, alors on peut lui associe les polynômes suivants \begin{align*} \mathscr{B}_n(f,x)=\sum_{k=0}^nf\left(\frac{k}{n}\right)B^n_k(x).\end{align*}
Démonstration probabiliste des théorème de Weierstrass
Voici l’énonce du théorème Weierstrass:
Théorème: Foit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur $[0,1]$. Alors $\mathscr{B}_n(f,\cdot)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. Autrement dit \begin{align*}\|\mathscr{B}_n(f,\cdot)-f\|_\infty:=\sup_{x\in [0,1]}|B_n(f,x)-f(x)|\underset{n\to\infty} {\to}0.\end{align*}
On constate, de manière formelle, que les éléments $B_n^k(x)$ ressemblent à la loi binomiale de paramètres $n$ et $x\in [0,1]$, d’une variable aléatoire $X$ et que les éléments $\mathscr{B}_n(f,x)$ correspondent, par le théorème de transfert, a l’espérance $\mathbb{E}(f(X))$.
Dans la suite, nous justifierons rigoureusement cette remarque. On se place dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ dans lequel on considère des variables aléatoires $\{X_1,\cdots,X_n\}$ qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $x\in [0,1]$. Alors la variable $S_n=X_1+\cdots+X_n$ suit une loi Binomiale de paramètre $x$ $x$. Alors $\mathbb{P}(S_n=k)=B^n_k(x)$. De plus on a \begin{align*} \mathbb{E}\left(f(\frac{S_n}{n})\right)=\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix})x^k (1-x)^{n-k} f(\frac{k}{n})=\mathscr{B}_n(f,x).\end{align*} D’autre part, on sait que la variable aléatoire $\frac{S_n}{n}$ converge en probabilité vers $x$. D’autre part, comme $f$ est continue les image aussi, et donc $f(\frac{S_n}{n})$ converge en probabilité vers $f(x)$.
Plus précisément, puisque $\mathbb{E}(f(x))=f(x)$ (car $f(x)$ ne dépend pas de l’aléatoire), alors on a \begin{align*} f(x)-\mathscr{B}_n(f,x)=\mathbb{E}\left(f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right).\end{align*} On passe al la valeur absolu, on trouve pour tout $x\in [0,1],$ \begin{align*} \left|f(x)-\mathscr{B}_n(f,x)\right|\le \mathbb{E}\left(\left|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right|\right).\end{align*} Soit le module de continuité de $f$ defini par \begin{align*} \varpi(\delta):=\sup_{|t-s|\le \delta}|f(t)-f(s)|.\end{align*} On a alors \begin{align*}\left|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right|\le \begin{cases}\varpi(\delta),& \left|x-\frac{S_n}{n}\right|\le \delta,\cr 2 \|f\|_\infty,& \left|x-\frac{S_n}{n}\right|\ge \delta.\end{cases}\end{align*} On utise la croissante de l’intégral pour les fonctions positives on a \begin{align*}\mathbb{E}\left(\left|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right|\right)&\le \varpi(\delta)+2 \|f\|_\infty \mathbb{E}\left(1_{ \left( \left|x-\frac{S_n}{n}\right|\right) }\right) \cr & \le \varpi(\delta)+2 \|f\|_\infty \mathbb{P}\left( \left|x-\frac{S_n}{n}\right|\ge \delta \right).\end{align*} Maintenanant par application du théorème de la loi faible des grands nombres on a \begin{align*} \mathbb{P}\left( \left|x-\frac{S_n}{n}\right|\ge \delta\right)\le \frac{1}{4n\delta^2}.\end{align*} En déduit, donc \begin{align*}\mathbb{E}\left(\left|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right|\right) \le \varpi(\delta)+\frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}.\end{align*} Ainsi \begin{align*} \|f-\mathscr{B}_n(f,\cdot)\|_\infty\le \varpi(\delta)+\frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}.\end{align*}Cela implique que la limite supérieure on a \begin{align*} \overline{\lim}\|f-\mathscr{B}_n(f,\cdot)\|_\infty\le \varpi(\delta).\end{align*} Mais on sait que $\varpi(\delta)\to 0$ quand $\delta\to 0,$ alors \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\|f-\mathscr{B}_n(f,\cdot)\|_\infty=0.\end{align*}
Illustration Géométrique du Théorème de Weierstrass
Imaginez une courbe continue qui trace une fonction complexe sur un intervalle donné. Le théorème de Weierstrass nous assure que nous pouvons tracer une série de polynômes qui épousent de plus en plus étroitement les méandres de cette courbe. Plus nous prenons de termes dans la séquence de polynômes, plus l’approximation devient précise. Cela revient à « lisser » la courbe avec des polynômes.
Applications et Signification
Le théorème de Weierstrass est fondamental dans l’étude des propriétés des fonctions continues. Il offre un pont entre les fonctions continues et les fonctions polynomiales, qui sont plus faciles à manipuler mathématiquement. Ce théorème trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment en analyse numérique, en physique mathématique et en modélisation.
En outre, le théorème de Weierstrass est un exemple concret du pouvoir de l’approximation. Il montre que même des fonctions complexes et délicates peuvent être représentées avec précision par des méthodes plus simples.
Conclusion
Le théorème de Weierstrass, en démontrant la capacité d’approximation des fonctions continues par des polynômes, ouvre la voie à une meilleure compréhension des propriétés des fonctions et à l’utilisation d’outils mathématiques plus gérables. Il est un pilier central de l’analyse mathématique, illuminant le chemin vers la compréhension des nuances des fonctions continues dans leur splendeur mathématique.
Biographie de Karl Weierstrass
Karl Weierstrass (1815-1897) était un mathématicien allemand de renommée mondiale. Né à Ostenfelde, il a révolutionné l’analyse mathématique en développant des théories rigoureuses, établissant la base des mathématiques modernes. Ses contributions majeures incluent le théorème de Weierstrass sur les approximations polynomiales et le concept de continuité uniforme. Weierstrass a enseigné à l’Université Humboldt de Berlin et a influencé des générations de mathématiciens. Sa rigueur méthodique a transformé les domaines de l’analyse, du calcul des variations et de l’analyse complexe. Sa perspicacité a laissé une empreinte indélébile dans l’histoire des mathématiques.
