L’une des distributions de probabilité les plus utilisées en statistique est la loi de Poisson. En fait cette loi sert à déterminer combien de fois un événement est susceptible de se produire sur une période bien déterminée. Elle peut également être vue comme une distribution de comptage.
Dans toute la suite on se place dans un espace de probabilité $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.
Formule mathématiques de la loi de Poisson
Soit $\lambda>0$. Une variable aléatoire $X$ suit une loi de poisson par fois on dit distribution de Poisson) $\mathscr{P}(\lambda)$ si pour tout $k\in\mathbb{N}$ on a $$ X(\Omega)=\mathbb{N},\quad \mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$ Un calcul simple pour le variables aléatoires discrètes montre que une espérance et une variance de $X\sim \mathscr{P}(\lambda)$ sont $$\mathbb{E}(X)=\lambda\quad\text{et}\quad V(X)=\lambda.$$
Explication de la loi: Une distribution de Poisson peut être utilisée pour estimer la probabilité que quelque chose se produise « X » nombre de fois. De nombreuses données économiques et financières apparaissent comme des variables de comptage, telles que le nombre de fois qu’une personne devient chômeur au cours d’une année donnée, se prêtant ainsi à une analyse avec une loi de Poisson.
Conditions d’utilisation de la loi de Poisson: Pour que la distribution de Poisson soit précise, tous les événements sont indépendants les uns des autres, le taux d’événements dans le temps est constant et les événements ne peuvent pas se produire simultanément. De plus, la moyenne et la variance seront égales l’une à l’autre.
Remarque: Notez que si la moyenne est très grande, alors la loi de Poisson est approximativement une loi normale.
Exercices d’application
Exercice 1: On suppose que $X\sim \mathscr{P}(\lambda)$. Calculer $\mathbb{E}(1/(1+X))$.
Solution: On pose $\varphi(k)=\frac{1}{1+k}$. Puisque $1/(1+X)=\varphi(X)$, alors d’apres le theoreme de transfère dans le cas des variables aléatoires discrètes on peut écrire \begin{align*} \mathbb{E}\left( \frac{1}{1+X}\right)=\mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_{n}\varphi(n)\mathbb{P}(X=n).\end{align*} Or on sait que $\mathbb{P}(X=n)=e^{\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}$. Donc \begin{align*} \mathbb{E}\left( \frac{1}{1+X}\right)&=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+n} \frac{\lambda^n}{n!}\cr &= \frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}\cr & =\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!}\cr &= \frac{e^{-\lambda}}{\lambda}(e^{\lambda}-1)=\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.\end{align*}
