La loi de Bernoulli est utilisée pour modéliser des tests avec deux résultats : réussite ou échec. Par exemple, la probabilité d’obtenir face (un « coup ») en lançant une pièce est de 0,5. La probabilité « d’échec » est de 1 – P (1 moins la probabilité de succès, qui est également de 0,5 pour un match nul). C’est un cas particulier de la distribution binomiale pour n = 1. En d’autres termes, il s’agit d’une distribution binomiale avec un seul essai (par exemple, un seul tirage).
La loi des variables aléatoires joue un rôle important dans le calcul des types, des moments et de la variance des variables aléatoires.
Définition mathématique de la loi de Bernoulli
Une variable aleatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de parametre $p\in [0,1]$ si $X(\Omega)\subset \{0,1\}$ et \begin{align*} P(X=0)=1-p\quad\text{et}\quad P(X=1)=p.\end{align*}
Pour cette distribution de Bernoulli, l’espérance et la variance de la variable aléatoire $X$ sont données par : \begin{align*}\mathbb{E}(X)=p,\quad V(X)=p(1-p).\end{align*}
Qu’est-ce qu’un essai de Bernoulli ?
Un essai de Bernoulli (par fois on dit épreuve de Bernoulli) est l’une des expériences les plus simples que vous puissiez mener. C’est une expérience où vous pouvez avoir l’un des deux résultats possibles. Par exemple, « Oui » et « Non » ou « Pile » et « Tail ». Quelques exemples :
- Lancer de pièces : enregistrez combien de pièces atterrissent face et combien de pièces atterrissent pile.
- Naissances : combien de garçons naissent et combien de filles naissent chaque jour.
- Lancer de dés : la probabilité qu’un lancer de deux dés aboutisse à un double six.
Les essais de Bernoulli sont généralement formulés en termes de succès et d’échec. Le succès ne signifie pas le succès de la manière habituelle – il se réfère simplement à un résultat dont vous souhaitez suivre l’évolution. Par exemple, vous voudrez peut-être savoir combien de garçons naissent chaque jour, alors vous appelez la naissance d’un garçon un « succès » et la naissance d’une fille un « échec ». Dans l’exemple du lancer de dés, un double six lancer de dé serait votre « succès » et tout le reste serait considéré comme un « échec ».
Une partie importante de chaque épreuve de Bernoulli est que chaque action doit être indépendante. Cela signifie que les probabilités doivent rester les mêmes tout au long des essais ; chaque événement doit être complètement séparé et n’avoir rien à voir avec l’événement précédent.
