Le théorème de convergence dominée est l’un des théorèmes les plus importants de la théorie de l’intégration de Lebesgue. Dans cet article, nous allons découvrir ce théorème et présenter quelques applications. Cette page s’adresse principalement aux étudiants des cycles supérieurs et aux candidats à l’agrégation de mathématiques.
Énoncé du théorème de convergence dominée de Lebesgue
Theoreme: Sur un espace mesuré $(E,\mathscr{B},\mu)$ on considere une suite de fonctions mesurables $(f_n)_n,$ avec $f_n:E\to\mathbb{C}$, et $f:E\to\mathbb{C}$. On suppose que
- pour presque tout $x\in E$ on a $f_n(x)\to f(x)$ quand $n\to\infty,$
- il existe une fonction $g:E\to \mathbb{R}^+$ telle que $g\in L^1(E,\mu)$ et $|f_n(x)|\le g(x)$ pour tout $n.$
Alors $f\in L^1(E)$ et \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} \int_E |f_n-f|d\mu=0.\end{align*}
Remarque: Selon les conditions du théorème de convergence dominée, on a \begin{align*} \left| \int_E f_n d\mu-\int_E fd\mu\right|\le \int_E |f_n-f|d\mu=0.\end{align*} Donc on a aussi \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_E f_n d\mu=\int_E fd\mu.\end{align*}
Exercice: Calculer les limites des intégrales suivantes: \begin{align*} \int^1_0 \frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(\frac{1}{nx}\right)dx,\quad \int^1_0 \left(1-\frac{x}{n}\right)^ndx.\end{align*}
Solution: Soit la suite de fonctions $f_n:]0,1]\to\mathbb{R}$ avec $f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(\frac{1}{nx}\right)$. Les fonctions $f_n$ sont mesurables puisque elles sont continues sur $]0,1]$. De plus $|f_n(x)|\le \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}n}$ pour tout $n\ge 1$ et $x\in ]0,1]$. Donc pour tout $x\in ]0,1]$ on a $f_n(x)\to 0$ quand $n\to\infty,$. D’autre par on a $|f_n(x)|\le \frac{1}{\sqrt{x}}:=g(x)$ pour tout $n\ge 1$ et $x\in ]0,1]$. Il est claire que $g\in L^1(]0,1])$. Donc selon le théorème de convergence dominée on a \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int^1_0 \frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(\frac{1}{nx}\right)dx=0.\end{align*} Pour le deuxieme integrale, on choisi $f_n(x)=(1-\frac{x}{n})^n$ pour $x\in [0,1]$ qui sont continues. De plus on a $|f_n(x)|\le 1:=g(x)$ et $g\in L^1([0,1])$. D’autre part, on a \begin{align*} f_n(x)=e^{n\ln(1-\frac{x}{n})}=e^{-x}+o(1).\end{align*} Donc $f_n(x)\to e^{-x}$ quand $n\to\infty$. Par application du théorème en haut on a \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int^1_0 \left(1-\frac{x}{n}\right)^ndx=\int^1_0 e^{-x}dx=1-e^{-1}.\end{align*}
