En analyse mathématique, pour démontrer une propriété sur un espace il suffit de la prouver sur une partie dense de cet espace. Ainsi la densité sert à simplifier les preuves. Par exemple, pour démontrer une propriété mathématique sur l’ensemble des nombres réels, il suffit de le faire sur l’ensemble des nombres rationnels qui est une partie dense.
Le but de cet article est de découvrir ensemble les parties denses dans les espaces fonctionnels classiques, comme l’espace de Lebesgue, l’espace des fonctions continues. De plus, des applications de la densité sont fournies pour démontrer les propriétés importantes.
Définition (Partie dense): Soit $(X,d)$ un espace métrique (ou un espace vectoriel normé de norme $|\cdot|$). Un sous-ensemble $A\subset X$ est dit dense en $X$ si son adhérence coïncide avec $X$. En d’autres termes $\overline{A}=X$.
Nous pouvons également interpréter la définition de densité de $A$ dans $X$ séquentiellement comme suit. Pour chaque $x\in X$, il existe une suite $(x_n)_n\subset X$ telle que $d(x_n,x)\to 0$ (or $\|x_n-x\|\to 0$ if on travaille dans un espace vectoriel normé) quand $x\to\infty$.
Exemple classique: L’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est dense dans l’ensemble de nombres réels $\mathbb{R}$. En effet, on prend $x\in \mathbb{R}$ et on construit une suite d’éléments de $\mathbb{R}$ qui converge vers $x$. On pose $x_n= \frac{E(nx)}{n}$ pour tout entier naturel $n\ge 1$, avec $E(y)$ est la partie entière d’un réel $y$ ($y-1<E(y)\le y$). On a alors $x_n\in\mathbb{Q}$ et $ x-\frac{1}{n}\le x_n\le x$. D’où le résultat.
Vous pouvez également consulter la partie ensembliste des nombres réels pour d’autres parties denses dans $\mathbb{R}$.
Les parties denses les plus connues pour les espaces fonctionnels
Exercice: Montrer que pour tout $p\in [1,+\infty[$, le sous-espace vectoriel $E$ de $L^p(\mathbb{R})$ constitue des fonctions qui sont nulle en dehors d’un compact est dense dans $L^p(\mathbb{R})$.
Solution: Soit $f\in L^p(\mathbb{R})$ et soit \begin{align*} f_n= 1_{[-n,n]}(\cdot)\;f,\qquad n\in\mathbb{N}.\end{align*} Il est claire que $(f_n)_n\subset E$. De plus $f_n$ converge simplement vers $f$, et donc on a $|f_n-f|^p$ converge simplement vers zéro également. de plus on a $|f_n-f|^p\le |f|^p$. Maintenant par application du théorème de convergence dominée on a \begin{align*}\lim_{n\to\infty} \|f_n-f\|_p^p=\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}|f_n(t)-f(t)|^pdt=0.\end{align*} Cela montrer que l’espace $E$ est dense dans $L^p(\mathbb{R})$.
Définitions: Soit $f:I\to X$ une application. Le support de $f$ est l’ensemble suivant \begin{align*}{\rm supp}(f)=\overline{\left\{ t: f(t)\neq 0\right\}}.\end{align*}
Voici un résultat que l’on admettra (la preuve n’est pas difficile mais elle demande de la préparation et donc il n’est pas pratique de la détailler dans cette page). Portant nous allons donner des applications du résultat.
Résultat important en analyse: L’espace $\mathscr{C}_c(\mathbb{R})$ des fonctions continues à support compact est dense dans $L^p(\mathbb{R})$ pour tout $p\in [1,+\infty[$.
On peut changer dans ce résultat l’espace $\mathbb{R}$ par $X$ espace localement compact et la mesure de Lebesgue dans $\mathbb{R}$ par une mesure régulière sur $X$.
Application : Consulter la continuité de l’operateurs de translation.
