Le lemme de Gronwall, du nom du mathématicien suédois T.H. Gronwall, est un outil essentiel en analyse mathématique, en particulier dans l’étude des inégalités. Ce résultat puissant offre une approche systématique pour établir des bornes supérieures sur des fonctions et des solutions d’équations différentielles. Dans cet article, nous plongeons dans les mécanismes et les applications du lemme de Gronwall.
Énoncé du lemme de Gronwall
Le but de cette section est d’énoncer et de prouver le lemme de Gronwall. Ce résultat est très important dans l’estimation des équations intégrales, en particulier liées aux solutions des équations différentielles non linéaires.
Théorème (lemme de Gronwall): Soit $\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive telle qu il existent deux constantes réelles positives $A$ et $B$ tel que \begin{align*} \varphi(t)\le A+B \int^t_0\varphi(s)ds,\quad \forall t.\end{align*} Alors \begin{align*} \varphi(t)\le A e^{Bt},\quad \forall $t\ge 0.\end{align*}
On pose \begin{align*}F(t)=A+B\int^t_0 \varphi(s)ds \end{align*} Cette fonction est une primitive de la fonction continue $\varphi$, donc $F$ est une fonction de classe $C^1$ est que $F'(t)=B\varphi(t)$ pour tout $t$. Observe that $\varphi(t)le F(t),$ et par suite $B\varphi(t)\le BF(t),$ car $B$ est positive. D’où \begin{align*} F'(t)\le BF(t)\end{align*}En multipliants les deux cotés par $e^{-B t}$ on trouve \begin{align*}e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0. \end{align*}Mais \begin{align*} \frac{d}{dt}\left( e^{-Bt} F(t) \right)=e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0.\end{align*} En intégrant entre $0$ et $t$ on a \begin{align*} \left[ e^{-Bs} F(s)\right]^{s=t}_{s=0}\le 0.\end{align*} Ceci donne $e^{-Bt} F(t)-F(0)le 0$. Comme $F(0)=A$, alors $e^{-Bt} F(t)\le A$, et par suite $F(t)\le A e^{Bt}$. D’où le résultat puisque $$\varphi(t)\le F(t).$$
Le lemme de Gronwall brille dans l’étude des inégalités où les bornes supérieures sont difficiles à déterminer directement. Par exemple, il peut être utilisé pour établir des estimations sur des solutions d’équations différentielles non linéaires.
En comprenant et en maîtrisant ce lemme, les mathématiciens sont mieux armés pour aborder une grande variété de problèmes qui nécessitent des inégalités habiles.
Une application du inegalite de Gronwall
Exercice: Soit l’équation différentielle non linéaire $$ u'(t)=-2 u(t)+\sin(t)\arctan(u(t)),\quad u(0)=1m\;t\ge 0.$$
- Montrer que cette équation différentielle admet une solution globale donnée.
- Montrer que $|u(t)|\to 0$ quand $t\to+\infty$.
- Soit la fonction $f:[0,+\infty[\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definie par $f(t,x)=-2x+\sin(t)\arctan(x)$. cette fonctinue est continue sur $U:=[0,+\infty[\times \mathbb{R}$. De plus pour tout $(t,x),(t,y)\in U$, $$ |f(t,x)-f(t,y)|=2|x-y|+|\sin(t)| |\arctan(x)-\arctan(y)|.$$ On a $|\sin(t)|\le 1$, et par l’inégalité des accroissements finis, en déduisant que $$ |f(t,x)-f(t,y)|\le 3 |x-y|,$$ ce qui montre que la fonction $g$ est globalement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. Maintenant par le theoreme de Cauchy-Lipschitz globale, notre equation admet une solution globale unique $([0,+\infty[,u)$.
- D’autre part, $$ \frac{d}{ds}( e^{2s} u(s))=e^{2s} \sin(s)\arctan(u(s)).$$ En intégrant entre $0$ et $t$, on trouve $$e^{2t} u(s))=1+\int^t_0 e^{2s} \sin(s)\arctan(u(s))ds.$$ En passe a la valeur absolu, en utilisant le fait que $|\arctan(x)|\le \frac{\pi}{2}$, et en applique le Lemme de Gronwall, on trouve \begin{align*}|e^{2t} u(t))|&\le 1+ \frac{\pi}{2}\int |e^{2s} u(s))|ds\cr & \le e^{\frac{\pi}{2} t}.\end{align*} Ainsi $$ |u(t)|\le e^{-\left(2-\frac{\pi}{2}\right)t},\quad \forall t\ge 0.$$ Comme $2-\frac{\pi}{2}>0$, alors $|u(t)|\to 0$ quand $t\to +\infty$.
Biographie sur T.H. Gronwall
T.H. (Thomas Hakon) Gronwall (1877-1932) était un mathématicien suédois renommé. Né à Örebro, il a excellé en mathématiques dès son jeune âge. Il a obtenu son doctorat en 1900 à l’Université d’Uppsala, sous la direction de Gösta Mittag-Leffler. Gronwall est surtout connu pour le lemme de Gronwall, un résultat fondamental en analyse mathématique qui trouve des applications dans les équations différentielles et les inégalités. Il a également contribué à la théorie des nombres et à d’autres domaines des mathématiques. Sa carrière académique l’a conduit de l’Europe à l’Amérique, où il a travaillé à l’Université Yale. Ses travaux influents continuent d’avoir un impact durable sur la mathématique moderne.
