Nous proposons des exercices corrigés sur le calcul algébrique, une discipline fondamentale au cœur des mathématiques. Les compétences en calcul algébrique sont essentielles pour résoudre des problèmes complexes et modéliser des situations du monde réel.
Dans cet article, nous vous invitons à explorer une série d’exercices variés de calcul algébrique. Ces exercices, accompagnés de leurs solutions, vous offriront l’opportunité de mettre en pratique les concepts clés tels que les opérations sur les expressions, les équations, les inégalités, les facteurs communs et bien plus encore. En travaillant à travers ces exercices, vous développerez votre compréhension des méthodes algébriques et perfectionnerez vos compétences en résolution de problèmes. Plongeons ensemble dans le monde stimulant du calcul algébrique et découvrons les stratégies pour aborder efficacement ces défis mathématiques.
Une selection d’exercices corrigés sur le calcul algébrique
Calcul de sommes
Exercice: ⭐⭐☆☆☆ Le but de cet exercice est de donner des expressions pour des sommes classiques :
- Somme de $n$ premiers entiers naturel: calculer $A_n=1+2+\cdots+n$.
- Calculer la somme $B_n=1^2+2^2+\cdots+n^2$
- Déterminer la somme $C_n=1^3+2^3+\cdots+n^3$
- Pour tout $n\ge 1$ on a \begin{align*} A_n&=1+2+3+\cdots+n,\cr A_n&=n+(n-1)+(n-3)+\cdots+n.\end{align*} Maintenant, on additionne les deux équations, on obtient $$ 2A_n=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1).$$ Ainsi $$ A_n=\frac{n(n+1)}{2}.$$ Remaque: le résultat peut aussi être démontré par une simple induction sur $n$.
- Pour calculer $B_n$, ecrivons $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$. Ce qui implique $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$. Ainsi \begin{align*} (n+1)^3&=\sum_{k=0}^n ((k+1)^3-k^3)\cr &= 3 B_n+3A_n+ \sum_{k=0}^n 1.\end{align*} Donc, d’après la première question, nous avons $$ 3B_n=(n+1)^3-3 \frac{n(n+1)}{2}-(n+1).$$ Tous calculs faits, on trouve $$\begin{align*} B_n&=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\cr & = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\end{align*}
- Pour $C_n$ on fait un raisonnement par récurrence. En fait, montrons que pour tout $n\ge 1$, on a $$ C_n=A_n^2=\left(\frac{n(n+1)}{2} \right)^2.$$ En effet, pour $n=1$ on a $C_1=1$ et $A_1=1$, donc $C_1=A_1^2$. La propriété est donc vraie pour $n=1$. Nous supposons que cela est vrai pour $n$ (c’est-à-dire $C_n=A_n^2$) et montrons le résultat pour $n+1$. On a \begin{align*} C_{n+1}&= C_n+(n+1)^3\cr &= A_n^2+(n+1)^3\cr &=\left(\frac{n(n+1)}{2} \right)^2 +(n+1)^3\cr &= (n+1)^2 \left(\frac{n^2}+n+1\right)\cr &=(n+1)^2 \left(\frac{n^2+4n+4}{4}\right) \cr &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=A_{n+1}^2.\end{align*} On trouve, après un calcul élémentaire, $$E_n=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$
Doubles sommations
Exercice: ⭐⭐⭐☆☆ Calculer les doubles sommes: \begin{align*} D_{n,p}&=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^p (k+j)\cr E_n&=\sum_{1\le j\le k\le n} jk\cr F_n&=\sum_{1\le k < j\le n}\frac{k}{j}.\end{align*}
- On a \begin{align*} D_{n,p}&= \sum_{k=1}^n\left( \sum_{j=1}^p k+\sum_{j=1}^p j\right)\cr &= \sum_{k=1}^n pk+\sum_{k=1}^n \frac{p(p+1)}{2}\cr &= p\frac{n(n+1)}{2}+n\frac{p(p+1)}{2}\cr &= \frac{np(n+p+2)}{2}.\end{align*}
- On peut reformuler $E_n$ comme $$ E_n=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k jk.$$ Donc $$ E_n=\sum_{k=1}^nk \sum_{j=1}^k j=\sum_{k=1}^n k\frac{k(k+1)}{2}.$$ Maintenant si on utilise les notations de l exercice precedent on trouve $$ E_n=\frac{C_n+B_n}{2}$$ avec $$B_n=\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ et $$ C_n=\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2} \right)^2.$$ On trouve, après un calcul élémentaire, $$ E_n=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$
- On a $1\le k < j\le n,$ donc $j\in\{2,3,\cdots,n\}$ et $k\in\{1,2,\cdots,j-1\}$. Par suite, \begin{align*} F_n&=\sum_{j=2}^n\sum_{k=1}^{j-1} \frac{k}{j}\cr &= \sum_{j=2}^n\frac{1}{j}\sum_{k=1}^{j-1} k\cr &=\sum_{j=2}^n\frac{1}{j} \frac{(j-1)j}{2}\cr &=\sum_{j=2}^n \frac{j-1}{2}\cr &=\frac{(n-1)n}{4}.\end{align*}
Calcul de produits
Exercice: ⭐⭐☆☆☆ Calculer les produits suivants: \begin{align*} \prod_{k=1}^n (2k),\quad \prod_{k=1}^n (2k+1),\quad \prod_{k=1}^{p-1} \frac{n-k}{p-k}.\end{align*}
- On a $$ \prod_{k=1}^n (2k)=2^n \prod_{k=1}^n k=2^n n!.$$
- Il faut ajouter les termes pairs au produit $\prod_{k=1}^n (2k+1)$. Nous le multiplions donc par un produit qui contient des termes pairs. On obtient donc $$ \prod_{k=1}^n (2k) \prod_{k=1}^n (2k+1)=(2n+1)!.$$ Donc, $$ \prod_{k=1}^n (2k+1)=\frac{(2n+1)!}{\prod_{k=1}^n (2k)} =\frac{(2n+1)!}{2^n n!}.$$ Ainsi $$ \prod_{k=1}^n (2k+1)=\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n+1)}{2^n}.$$
- Nous pouvons écrire, $$ \prod_{k=1}^{p-1} \frac{n-k}{p-k}=\frac{\prod_{k=1}^{p-1}(n-k)}{\prod_{k=1}^{p-1}(p-k)}.$$ D’une part, on faisant le changement d’indice $n-k=i$. On obtient \begin{align*} \prod_{k=1}^{p-1}(n-k)&=\prod_{i=n}^{n-p+1}i\cr &=\frac{\prod_{i=1}^n i}{\prod_{i=1}^{n-p} i}=\frac{n!}{(n-p)!}.\end{align*} D’autre part, le changement d’indice $p-k=i$, donne $$ \prod_{k=1}^{p-1}(p-k)=\prod_{i=1}^{p}i=p!.$$ Ainsi $$ \prod_{k=1}^{p-1} \frac{n-k}{p-k}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$
Calcul algébrique: ensembles
Exercice 1: Déterminer les ensembles suivants: \begin{align*} A&=\{x\in\mathbb{R}: x^2\le 2\}\cr B&=\left\{x\in \mathbb{R}^\ast: \frac{1}{|x|}>1\right\}\cr C&=\bigcap_{n\in\mathbb{N}^\ast}\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]\end{align*}.
$\bullet$ $x\in A$ si et seulement si $|x|^2=x^2\le 2$. Donc $|x|\le \sqrt{2}$, ou encore $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$. Ainsi $A=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$.
$\bullet$ $x\in B$ signifie que $x\in \mathbb{R}^\ast$ et $|x|<1$. Donc $x\in \mathbb{R}^\ast \cap ]-1,1[=]-1,0[\cup ]0,1[$. Ainsi \begin{align*} B=]-1,0[\cup ]0,1[.\end{align*}
$\bullet$ $x\in C$ équivalent à $-\frac{1}{n}\le x\le \frac{1}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty,$ en déduit que $x=0$. Donc $C=\{0\}$.
Exercice 2: Si $x,y\in\mathbb{R},$ on définit la distance entre $x$ et $y$ par $d(x,y)=|x-y|$. Un intervalle ouvert dans $\mathbb{R}$ de centre $x$ et de rayon $\varepsilon$ est l’ensembe $I(x,\varepsilon):=\{y\in \mathbb{R}:d(x,y)<\varepsilon\}$. Maintenant, on définit la même distance sur $\mathbb{Z}$. Déterminter l'intervalle ouvert dans $\mathbb{Z}$ de centre $k\in\mathbb{Z}$ et de rayon $1$.
On a \begin{align*} I(k,1)=\left\{ q\in \mathbb{Z}: 0\le d(k,p)<1\right\}.\end{align*} Soit $q\in I(k,1)$. Comme $d(k,p)=|k-q|\in\mathbb{N}$ et $0\le d(k,p)<1,$ alors forcément $|k-q|=0,$ ce qui donne $q=k$. Ainsi pour tout $k\in\mathbb{Z},$ on a $I(k,1)=\{k\}$.
Calcul algébrique: sommes géométriques
Exercice 3: Soient $n$ et $p$ deux nombres naturels. Simplifier la somme suivante \begin{align*} A=3^{n}+3^{n+1}+\cdots +3^{n+p}.\end{align*}
En factorisant par $3^n$, on trouve \begin{align*} A=3^{n}(1+3+3^{2}+\cdots +3^{p}).\end{align*} Or on sait que $1+3+3^{2}+\cdots+3^p=\frac{3^{p+1}-1}{3-1}$. Donc \begin{align*} A= \frac{3^n}{2}(3^{p+1}-1)=\frac{3^{n+p+1}-3^n}{2}.\end{align*}
Exercice 4: Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels telle qu’il existe un réel $\gamma\in ]0,1[$ tel que $|u_{n+1}-u_n|\le \gamma^n$ pour tout $n$. Montrer que pour tout $p,q\in\mathbb{N}$ ($q>p$) on a \begin{align*} |u_q-u_p|\le \frac{\gamma^p}{1-\gamma}.\end{align*}
Selon l’hypothèse on sait estimer la distance entre deux termes successifs de la suite. Le but de l’exercice est de donner une estimation de la distance entre deux termes quelconques de la suite. Soient $u_p$ et $u_q$ deux termes de la suite avec $q>p$. L’idée est de majorer la distance $|u_q-u_p|$ par une somme des distances des termes successifs de la suite. On écrit, \begin{align*} u_q-u_p&=(u_q-u_{q-1})+(u_{q-1}-u_{q-2})+\cdots+(u_{q-(q-p-1)}-u_p)\cr &=(u_q-u_{q-1})+(u_{q-1}-u_{q-2})+\cdots+(u_{p+1}-u_p).\end{align*}Ainsi \begin{align*} |u_q-u_p|&\le |u_q-u_{q-1}|+|u_{q-1}-u_{q-2}|+\cdots+|u_{p+1}-u_p| \cr & \le \gamma^{q-1}+\gamma^{q-2}+\cdots+\gamma^p\cr & = \gamma^p \left( \gamma^{q-p-1}+\gamma^{q-p-2}+\cdots+\gamma+1\right)\cr &= \gamma^p \frac{1-\gamma^{q-p}}{1-\gamma}\cr & \le \frac{\gamma^p}{1-\gamma},\end{align*} puisque $0<1-\gamma^{q-p}<1$.
Coefficients de Binome
Exercice 5: Montrer que \begin{align*} 2^n=\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix}),\quad \text{et}\quad\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (-1)^k=0, \end{align*} avec \begin{align*}(\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix})=\frac{n!}{k! (n-k)!}.\end{align*}
La formule du binôme nous dit que pour $a,b\in\mathbb{R},$ on a \begin{align*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix}) a^k b^{n-k}.\end{align*} Il suffit donc de prendre $a=b=1$ pour la première égalité et $a=-1$ et $b=1$ pour la deuxième égalité.
Exercice 6: 1- Prouver que pour tout entiers $n\ge p\ge k,$ on a \begin{align*} (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})=(\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})(\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix}).\end{align*} 2- Déterminer \begin{align*} A=\sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix}).\end{align*}
1- D’une part, on a \begin{align*} (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})&=\frac{n!}{k! (n-k)!} \frac{(n-k)!}{(p-k)! ((n-k)-(p-k))!}\cr & =\frac{n!}{k! (p-k)!(n-p)!}.\end{align*} D’autre part, \begin{align*} (\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})(\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix})&=\frac{p!}{k! (p-k)!} \frac{n!}{p! (n-p)!} \cr & =\frac{n!}{k! (p-k)!(n-p)!}.\end{align*} D’où l’égalité.
2- On a \begin{align*} \sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})&= (\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix})\sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})\cr &= (\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix}) 2^p, \end{align*} d’après l’exercice précèdent.
