Découvrez une série complète d’exercices corrigés sur les développements limités, conçus pour affiner votre intuition quant au comportement local des fonctions. Perfectionnez vos compétences en manipulation des séries de Taylor et gagnez en confiance pour aborder avec succès des situations réelles en analyse mathématique. Préparez-vous à maîtriser cette puissante méthode d’approximation mathématique pour calcul des limites des fonctions.
Une sélection d’exercices de développements limités
Calcul de limites de fonctions
Exercice: Déterminer les limites suivantes
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left( \frac{\tan(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}$
- La fonction $\frac{\tan(x)}{x}$ est positive sur un voisinage très petit de $0$, à condition que ce voisinage soit exclu de $0$. Pour $x$ tres proche de $0$ on a $$ \ln\left(\left( \frac{\tan(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} \right)=\frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{\tan(x)}{x}\right).$$ Le développement limité de la fonction $\mapsto \tan(x)$ au point $0$ nous donne $$ \tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3).$$ Donc $$ \ln\left(\left( \frac{\tan(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} \right)= \frac{1}{x^2}\ln(1+\frac{x^2}{3}+O(x)=\frac{1}{3}+O(x).$$ (Ici on a utiliser $\ln(u)\sim u$ si $n\to 0$). Ainsi $$ \lim_{x\to 0}\left( \frac{\tan(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} =e^{\frac{1}{3}}.$$
- De même $$ \ln\left((1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x} \ln(1+\sin(x)\sim \frac{\sin(x)}{x}.$$ Ainsi $$ \lim_{x\to 0}(1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}=e.$$
Exercice: Etudier le développement limité de $f$ en $0$ dans les cas suivants:\begin{align*}1.\; f(x)=\ln(1+x^2)\quad(\text{l’ordre}\;6),\qquad 2.\; f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x+1} \quad(\text{l’ordre}\;3).\end{align*}
- On sait que le $DL_3(0)$ de la fonction $u\mapsto \ln(1+u)$ est donné par:\begin{align*}\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+o(u^3).\end{align*}En faisant le changement de variable $u=x^2,$ donc si $u$ est au voisinage de $0$ alors aussi $x^2$ est au voisinage de $0$, donc on a\begin{align*}\ln(1+x^2)&=x^2-\frac{(x^2)^2}{2}+\frac{(x^2)^3}{3}+o((x^2)^3)\cr & x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}+o(x^6).\end{align*}
- On sait que le $DL_3(0)$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{1+x}$ est donnée par\begin{align*}\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3).\end{align*}En utilise aussi le développement de $x\mapsto \ln(1+x)$ donner la la question 1, on trouve (dans la multiplication on grade que les puissances inférieures ou égale à $3$)\begin{align*}\frac{\ln(1+x)}{x+1}&=\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(u^3)\right)\cr & \hspace{1cm}\times (1-x+x^2-x^3+o(x^3))\cr &= x-\frac{3}{2}x^2+\frac{11}{6}x^3+o(x^3).\end{align*}
Exercice: On considère une fonction $f:[0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}$ définie par \begin{align*}f(x)=\begin{cases}\arccos\sqrt{\frac{x}{\tan(x)}},& x\in]0,\frac{\pi}{2}],\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*} Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $5$ au voisinage de $0$.
On pose $$u=1-\sqrt{\frac{x}{\tan(x)}}=\frac{\sqrt{\tan(x)}-\sqrt{x}}{\sqrt{\tan(x)}}.$$ Comme $\sqrt{w}=\frac{w}{2}+o(w)$, alors $$ u\sim \frac{\tan(x)-x}{2x}\sim \frac{x^2}{6}.$$ On remarque que $$ f(x)=\arccos(1-u)=2\arcsin\sqrt{\frac{u}{2}}.$$ De plus on a $x>0,$ on a $$\sqrt{\frac{u}{2}}\sim \frac{x}{2\sqrt{3}}.$$ Ainsi le développement limite de $f$ existe. D’autre en utilisant les développement limités de $\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+O(x^9)$, on a \begin{align*}u&=1-\left(1+\frac{x^2}{3}+\frac{2}{15}x^4+\frac{17}{315}x^6\right)^{-\frac{1}{2}}\cr &= \frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{40}+\frac{79}{15120}x^6+O(x^8).\end{align*} Ainsi \begin{align*} \sqrt{\frac{u}{2}}&= \frac{x}{2\sqrt{3}} \left(1+\frac{3x^2}{20}+\frac{79 x^4}{2520}\right)^{\frac{1}{2}}+O(x^7)\cr &=\frac{x}{2\sqrt{3}} \left(1+\frac{3x^2}{40}+\frac{2593 x^4}{201600}\right)+O(x^7):=v.\end{align*} Or \begin{align*} f(x)&=2\arcsin\sqrt{\frac{u}{2}}=2 \arcsin(v)\cr &= v+\frac{v^3}{6}+\frac{3v^5}{40}+O(v^7)\cr & = \frac{x}{\sqrt{3}}\left(1+\frac{4x^2}{45}+\frac{26 x^4}{1575}\right)+O(x^7).\end{align*}
