Nous proposons des exercices corrigés sur l’optimisation et l’analyse convexe. Notez que l’optimisation est très importante dans notre vie quotidienne et qu’elle est utilisée par les banques, les sociétés et les entreprises pour maximiser les gains et minimiser les pertes. Une partie de l’optimisation est basée sur les fonctions convexe.
Une sélection d’exercices corrigés sur l’optimisation
Exercice: Soit $b\in\mathbb{R},\,c\in\mathbb{R}$ et $A\in\mathcal{S}_n^{++}$. Soit la fonction $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ définie par \begin{align*}f(x)=\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle+\langle b,x\rangle. \end{align*}Minimiser $f$ sur $\mathbb{R}^n$.
Solution: La fonction $f$ est strictement convexe, coercive et définie sur un fermé, donc il existe un seule $x_0\in \mathbb{R}^n$ qui le minimum de $f$. Ce minimum satisfait $\nabla f(x_0)=0$. d’autre part, comme $A$ est symétrique alors la différentielle de $f$ est donnée par (par un calcul simple): pour tout $x,h\in\mathbb{R}^n,$\begin{align*}Df(x).h=\langle Ax+b,h\rangle.\end{align*}Alors $\nabla f(x)=Ax+b$. Ainsi $Ax_0+b=0$, donc $x_0=-A^{-1}b$. Alors\begin{align*}f(x_0)=\frac{1}{2}\langle A^{-1}b,b\rangle+c.\end{align*}
