Exercices sur les espaces connexes

Il y a un manque de littérature relativement aux exercices sur les espaces connexes. Le but de cet article est de vous donner une bonne sélection d’exemples de parties connexes. Un espace connexe est un espace qui ne peut pas être exprimé comme une union de deux sous-ensembles ouverts disjoints. Une bonne application de connexité est le théorème des valeur intermédiaires.

Exercices sur les espaces connexes (par arcs)

Ici on travail dans le cadre des espaces vectoriels normés. Cependant, les resulats obtenu sont aussi valable pour les espaces métriques.

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel normé.

1. Montrer que toute partie convexe de $E$ est connexe par arcs.
2. Montrer que toute boule ouverte ou fermée de E est connexe par arcs.
3. Montrer que tout sous-espace est connexe par arcs.

Solution: On rappelle qu’une partie $C$ de $E$ est dite convexe si pour tout $x,y\in C$ et tout $t\in [0,1],$ on a $tx+(1-t)y\in C$ (voir aussi les fonctions convexe).

1. Soit $C$ une partie convexe de $E$ et soit $x,y\in C$. Comme $tx+(1-t)y\in C$ pour tout $t\in [0,1],$ alors on peut définir une application $\gamma:[0,1]\to C$ par $\gamma(t)=tx+(1-t)y$ pour tout $t\in [0,1]$. L’application $\gamma$ est continue sur $[0,1]$ et $\gamma(0)=y$ et $\gamma(1)=x$. Ainsi $C$ est une partie connexe par arcs.
2. Soit $B(a,r)$ une boule ouverte avec $a\in E$ et $r>0$. Selon la question 1, il suffit de montrer que $B(a,r)$ est convexe. En effet, soit $x,y\in B(a,r)$ et $t\in [0,1]$. Alors Comme $a=ta+(1-t)a,$ alors on a \begin{align*} \| tx+(1-t)y-a\|&= \|t (x-a)+(1-t)(y-a)\|\cr & \le t \|x-a\|+(1-t)\|y-a\|\cr & < tr+(1-t)r=r.\end{align*} Ceci implique $tx+(1-t)y\in B(a,r)$. Ce qu’il fallait démontrer.
3. Il est facile de voir que tout sous-espace est convexe, donc connexe par arcs d’après la question 1.

Voici un exercice classique parmi les exercices sur les espaces connexes.

Exercices: Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $A$ et $B$ deux partie de $E$ telles que $A$ est connexe et que $A\subset B\subset \overline{A}$. Montrer que $B$ est une partie connexe de $E$ (en particulier $\overline{A}$ est connexe). Est ce que l’interieur de $A$, ${\rm int}(A)$, est aussi connexe?

Solution: Soit $f:B\to \{0,1\}$ une fonction continue. Nous allons montrer que $f$ est constante. En effet, $f_{|A}:A\to \{0,1\}$, la restriction de $f$ sur $B$, est continue sur $A$, et par connexité de $A,$ $f_{|A}$ est une constante par exemple $f(x)=1$ pour tout $x\in A$. Maintenant soit $x\in B$, donc $x\in \overline{A}$. Il existe une suite $(x_n)\subset A$ telle que $x_n\to x$. Comme $f$ est continue sur $B$ alors $1=f(x_n)\to f(x)$ quand $n\to\infty$. Par conséquent, on a $f(x)=1$. Ainsi $f$ est constante sur $B$. Ainsi $B$ est connexe. ${\rm int}(A)$ n’est pas connexe car on peut toujours écrire ${\rm int}(A)=\Omega_1\cup\Omega_2$ avec $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont deux ouverts avec $\Omega_1\cap\Omega_2=\emptyset$. Donc il faut retenir que le fait que $A$ connexe n’implique pas que son intérieure est connexe.