Nombres réels

En tant qu’étudiants en sciences mathématiques à l’université ou étudiants de classes préparatoires, vous devez apprendre les mathématiques aussi bien pratiques que théoriques.

Vous devez d’abord suivre le cours avec votre professeur en classe et essayer de comprendre l’idée de la preuve de chaque théorème et proposition du chapitre, puis reprendre le cours des leçons à la maison pour bien comprendre les démonstrations. De cette façon, vous pouvez déjà vous habituer au raisonnement mathématiques.

Pour les exercices, il faut commencer par les exercices pratiques pour s’habituer à calculer, par exemple, le calcul des limites de suites qui ont une expression bien définie, à prouver des inégalités, et à résoudre des équations algébriques. Ensuite il faut passer aux exercices théoriques surtout pour les sous-suites et le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Vous pouvez répéter la même méthode pour les autres chapitres de mathématiques.

La valeur absolue dans $\mathbb{R}$ est définie par $|x|=\max\{x,-x\}$ (i.e. $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x\le 0$) pour tout $x\in \mathbb{R}$. La distance entre les nombres réels est donnée par \begin{align*}d(x,y)=|x-y|, \qquad x,y\in\mathbb{R}.\end{align*} Deux nombres $x$ et $y$ sont proches l’un de l’autre si la distance  $|x-y|$ est très petite. En termes mathématiques si pour tout $\varepsilon>0$ petit que soit-il $|x-y|\le \varepsilon$.

Voici quelques propriétés importantes de la valeur absolue:

Une suite de nombres réels (ou bien une suite numérique) est une application $u:mathbb{N}tomathbb{R}$. Par convention on note $u(n):=u_n$ si $ninmathbb{N}$ et la suite $u$ est notée $(u_n)_n$.

On dit que $(u_n)_n$ a une limite $ellinmathbb{R}$ et on écrit $ell=lim_{nto+infty}u_n$ ou parfois ($u_nto ell$ quand $nto+infty$), si il existe un rang (assez grand) $Ninmathbb{N}$ tel que pour tout $nge N$ le terme de la suite $u_n$ est proche de $ell$ (i.e. la distance $|u_n-ell|$ est très petite dès que $nge N$).En termes mathématiques, la  $ell=lim_{nto+infty}u_n$ si et seulement si begin{align*} forall varepsilon>0,;exists Ninmathbb{N}, (forall n,;nge N Longrightarrow; |u_n-ell|le varepsilon).end{align*}

Pour plus de définitions est une très belle discussion sur les limite de suites voire la page sur les suites.

Soit $A$ une partie non vide majorée de $mathbb{R},$ dans la borne supérieure $sup(A)inmathbb{R}$ (i.e. existe dans $mathbb{}$), alors il existe $(u_n)_n subset A$ telle que $u_ntosup(A)$ quand $ntoinfty$. En fait, on sait que $sup(A)$ est le plus petit des majortants de $A$. Donc pour tout $varepsilon>0$, petit que soit-il, $sup(A)-varepsilon$ n’est pas un majorant de $A$. Ce qui signifie que il existe $u_varepsilonin A$ (un reel $uin A$ qui depond de $varepsilon$) tel que $sup(A)-varepsilon< u_varepsilon le sup(A)$. En particulier pour tout $ninmathbb{N}^ast$, si on prend $varepsilon=frac{1}{n},$ il existe $u_nin A$ tel que $sup(A)-frac{1}{n}< u_n le sup(A)$. Donc $u_nto sup(A)$ quand $nto+infty$.