Intégrales de Wallis et calcul intégral

Nous proposons un problème corrigé sur les intégrales de Wallis (John Wallis). Ce dernier est un mathématicien anglais, né en 1616 et décédé en 1703. Cet exercice est une bonne occasion de s’adapter au calcul intégral.

Problème sur les intégrales de Wallis

Pour chaque $n\in\mathbb{N},$ on définie une intégrale au sens de Riemann\begin{align*}\omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n(t)dt.\end{align*}

1. Vérifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a\begin{align*}\omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n(\theta)d\theta.\end{align*}
2. Montrer que la suite $(\omega_n)_n$ est décroissante et est convergente.
3. Vérifier que $\omega_n>0$ pour tout $n$.
4. Montrer que\begin{align*}\forall n\in\mathbb{N},\quad\omega_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\omega_n.\end{align*}
5. Montrer que la suite $((n+1)\omega_n\omega_{n+1})_n$ est constante$.
6. Montrer que $\omega_n$ est équivalent à $\omega_{n+1}$ quand $n\to+\infty$, c’est-à-dire\begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}=1.\end{align*}
7. En déduite que\begin{align*}\omega_n\underset{n\to+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}.\end{align*}
8. Montrer que pour tout $p\in\mathbb{N},$\begin{align*}\omega_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p} (p!)^2}\frac{\pi}{2},\quad \omega_{2p+1}=\frac{2^{2p} (p!)^2}{(2p+1)!}.\end{align*}
9. En déduire la première formule de Wallis\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{\pi}}=\lim_{p\to +\infty} \sqrt{p};\frac{1\times 3\times\cdots\times (2p-1)}{2\times 4\times (2p)}.\end{align*}

Solution:

1. Il suffit de faire le changement de variable $\theta=\frac{\pi}{2}-t$ pour $0\le t\le \frac{\pi}{2}$ et utiliser la formule $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos(\theta)$.
2.  Montrons que la suite $(\omega_n)_n$ est décroissante. En effet, comme $0\le \sin(t)\le 1$ pour tout $t\in [0,\frac{\pi}{2}],$ alors on a $0\le\sin^{n+1}(t)\le \sin^n(t)$ pour tout $0\le t\le \frac{\pi}{2}$ et pour tout $n$. En intégrant cette inégalité entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ on trouve $\omega_{n+1}\le \omega_n$ pour tout $n$. Ce qui montre que cette suite est bien décroissante. De plus il est clair que $\omega_n\ge 0$ pour tout $n$. Ainsi la suite $(\omega_n)_n$ est convergente.
3. Supposons qu’il existe $N\in\mathbb{N}^\ast$ tel que $\omega_N=0$, c’est-à-dire l’intégrale de la fonction continue positive $t\mapsto \sin^N(t)$ sur $ [0,\frac{\pi}{2}]$ est égal à zéro. Cela implique que $\sin^N(t)=0$ pour tout $t\in [0,\frac{\pi}{2}]$. Ce n’est pas possible.
4.  Soit $n\in \mathbb{N}$. Une intégration par parties deux fois donne \begin{align*} \omega_{n+2}&=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin(t)\,\sin^{n+1}(t)dt=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (-\cos(t))’\,\sin^{n+1}(t)dt\cr &=(n+1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2(t) \sin^n(t)dt\cr &=(n+1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (1-\sin(t))^2 \sin^n(t)dt\cr&= (n+1)\omega_n- (n+1)\omega_{n+2}.\end{align*} Cela implique $(n+2)\omega_{n+2}=(n+1)\omega_{n}$ pour tout $n$.
5.  On pose $C_n=(n+1)\omega_n\omega_{n+1}n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.  Nous avons par question (4), \begin{align*} C_{n+1}-C_n&=(n+2)\omega_{n+1}\omega_{n+2}-(n+1)\omega_n\omega_{n+1}\cr&= (n+1)\omega_n\omega_{n+1}-(n+1)\omega_n\omega_{n+1}=0,\end{align*} Ainsi $C_n=C_0$ pour tout $n,$ et donc $(n+1)\omega_n\omega_{n+1}=\omega_0\omega_1=\frac{\pi}{2}$.
6.  Comme $\omega>0$, alors d’apres (4) et le fait que la suite $(\omega_n)$ est décroissante, ona  \begin{align*} \frac{n+1}{n+2}=\frac{\omega_{n+2}}{\omega_n}\le \frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}\le 1.\end{align*} Ainsi $\frac{\omega_{n+1}}{\omega_n}\to 1$ quand $n\to\infty$. Ce qui signifie que $w_n\sim w_{n+1}$ quand $n\to\infty$.
7.  Les équivalences $\omega_{n+1}\sim \omega_n$ et $n+1\sin n$ implique que $\frac{\pi}{2}=C_n=(n+1)\omega_{n+1}\omega_n\sim n \omega^2_n$. Ce qui donne $\omega^2_n\sim \frac{\pi}{2n}$. D’où le résultat.