Nous proposons des exercices corrigés sur des suites définies par des intégrales. Ce type de suites est utilisé pour calculer la somme de séries numériques.
Cette section peut compléter le chapitre sur les suites de nombres réels. Aussi ce genre de séquences intégrales entre-t-il dans le cadre des intégrales dépendant d’un paramètre. On peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue pour résoudre ce type de problème, mais ici on préfère la méthode classique pour que les élèves (élevés) des classes préparatoires en profitent.
Exercices corrigés sur les suites définies par des intégrales
Exercice: Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrables au sens de Riemann. Etudier la limite de suite suivante \begin{align*}u_n=\int^1_0 \frac{nf(x)}{n^2+x^2}dx,\quad n\in\mathbb{N}.\end{align*}
Solution: Comme $f$ est intégrale au sens de Riemann sur $[0,1],$ alors $f$ est bornée sur $[0,1]$. Donc il existe $M\ge 0$ tel que $|f(x)|\le M$ pour tout $x\in [0,1]$. Par suite on a\begin{align*}|u_n|&\le M \int^1_0 \frac{n}{n^2+x^2}dx\cr & = M \int^1_0 \frac{1}{n} \frac{dx}{1+\left(\frac{x}{n}\right)^2}dx \cr & = \left[\arctan\left(\frac{x}{n}\right)\right]^1_0=\arctan(1/n).\end{align*}Comme $\arctan(1/n)\to 0$ quand $n\to +\infty,$ on a $u_n\to 0$ quand $n\to+\infty$.
Exercice: Soit une fonction $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Montrer que \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} n\int^1_0 x^n f(x)dx=f(1).\end{align*} Solution: Tout d’abord on remarque que \begin{align*} n \int^1_0 f(1)x^ndx=\frac{f(1)n}{n+1}\to f(t)\quad (n\to\infty).\end{align*} On pose donc $g(x)=f(x)-f(1)$ pour tout $x\in [0,1]$. Il suffit donc de montrer que \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} n\int^1_0 x^n g(x)dx=0.\end{align*} En effet, comme $g(x)\to 0$ quand $x\to 1^-$, alors pour tout $\varepsilon>0,$ il exists $\beta\in ]0,1[$ tel que pour tout $x\in ]1-\beta,1[$ on a $|g(x)|\le \frac{\varepsilon}{2}$. On a alors, pour tout $n,$ \begin{align*} \left|n\int^1_{1-\beta} x^n g(x)dx\right|&\le \frac{\varepsilon}{2}n \int^1_{1-\beta}x^n\cr & =\frac{\varepsilon}{2} \frac{n+1}{n}\left(1- (1-\beta)^{n+1}\right)\cr & \le \frac{\varepsilon}{2}.\end{align*} D’autre par, comme $g$ est continue sur le compact $[0,1],$ alors $g$ est bornee sur $[0.1]$. Soit alors $M>0$ tel que $|g(x)|\le M,$ pour tout $x\in [0,1]$. On a alors \begin{align*} \left|n\int^{1-\beta}_0 x^n g(x)dx\right|\le Mn \int^{1-\beta}_0 x_n dx\le M(1-\beta)^{n+1}.\end{align*} Comme $1-\beta\in ]0,1[,$ alors $(1-\beta)^{n+1}\to 0$ quand $n\to +\infty$. Donc il existe $N\in\mathbb{N},$ pour tout $n,$ tel que \begin{align*} n\ge N \Longrightarrow \left|n\int^{1-\beta}_0 x^n g(x)dx\right|\le \frac{\varepsilon}{2}.\end{align*} Ainsi pour tout $n\ge N,$ on a \begin{align*} n\ge N \Longrightarrow \left|n\int^1_0 x^n g(x)dx\right|\le \varepsilon.\end{align*}
