Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration mathématique qui permet d’établir la véracité d’une proposition pour tous les entiers naturels. Cette technique repose sur deux étapes fondamentales : la base de récurrence et l’étape de récurrence.
Dans un premier temps, il est nécessaire de prouver que la proposition est vraie pour un cas de départ, généralement pour l’entier 0 ou 1. Cette étape est cruciale car elle sert de fondation sur laquelle repose l’ensemble du raisonnement.
Etapes du raisonnement par récurrence
Une fois la base de récurrence établie, l’étape suivante consiste à démontrer que si la proposition est vraie pour un entier naturel k, alors elle doit également être vraie pour l’entier k+1. Cette étape est souvent appelée l’hypothèse de récurrence, où l’on suppose que la proposition est valide pour k et où l’on utilise cette hypothèse pour prouver sa validité pour k+1. Ce processus crée une chaîne logique qui permet d’étendre la véracité de la proposition à tous les entiers naturels.
Importance de la méthode de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est particulièrement puissant dans le domaine des mathématiques discrètes et est fréquemment utilisé pour prouver des résultats concernant les suites, les séries et d’autres structures discrètes. Il est également un outil pédagogique essentiel, car il aide les étudiants à développer une compréhension plus profonde des concepts de base en mathématiques. En maîtrisant cette méthode, les étudiants acquièrent non seulement des compétences en résolution de problèmes, mais aussi une appréciation pour la rigueur et la logique qui sous-tendent les démonstrations mathématiques.
Exemples d’applications
Montrer par récurrence que pour tout entier n⩾1, on a : $$ S_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$ En effet, pour n=1, on a $S_1=\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{1+1}$. Donc c’est vraie. En suite, en suppose que $S_n$ est vraie, et montrons que $S_{n+1}$ est vraie. On a \begin{align*} S_n&=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= S_n+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= 1-\frac{1}{n+2}.\end{align*}
