L’intégration d’une série de fonctions est un sujet fondamental en mathématiques, faisant partie intégrante de l’analyse réelle et de la théorie des séries. Cette technique permet d’étudier le comportement d’une série infinie de fonctions lorsqu’elle est intégrée.
Dans cet article, nous explorerons les concepts clés liés à l’intégration d’une série de fonctions, examinerons ses propriétés essentielles et mettrons en évidence certaines de ses applications importantes.
Intervention de série de fonction et intégrale
Soit une série de fonctions $(f_n)$ définies sur un segmet $[a, b]$. On suppose que $(f_n)$ et converge simplement vers une fonction $f$. L’intégration de la série de fonctions $(f_n)_n$ consiste à déterminer la série intégrée $(F_n)_n$ définie par : $$ F_n(x)=\int^x_a f_n(t)dt,\quad x\in [a,b].$$
Intégration d’une série de fonctions: cas d’un segment
Pour pouvoir intégrer une série de fonctions terme à terme, il est crucial d’établir les conditions de convergence.
Théorème: Soit une suite de fonctions $(f_n)_n$ continues sur un intervalle $[a,b]$. On suppose que la serie de fonction $\sum_n f_n$ est uniformement convergente sur $[a,b]$. Alors la série des intégrales $$ \sum_{n} \int^b_a f_n(t)dt$$ converge aussi et on a $$ \int^b_a \left(\sum_n f_n(t)dt\right)=\sum_{n} \int^b_a f_n(t)dt.$$
La convergence normale de la série de fonction peut remplacer la convergence uniforme, vue que le théorème reste vrai.
Exemple: Monter que $$ \int^1_0 x^x dt=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^n}.$$
$\bullet$ La première chose a faire est de chercher la série de fonctions qui converge vers la fonction $x\mapsto x^x$ sur ‘intervalle $[0,1]$. En effet, en appliquant la série exponentielle, pour tout $x>0$, on peut écrire $$ x^x=e^{x\ln(x)}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(x\ln(x))^n}{n!},$$ De plus comme $x\ln(x)\to 0$, alors on pose $$ f_n(x)=\begin{cases} \frac{(x\ln(x))^n}{n!},& x\in ]0,1],\cr 1,& x=0.\end{cases}$$
$\bullet$ Convergence uniforme de la serie de fonctions $\sum_{n\ge 0} f_n$. En fait facile de voir que $|x\ln(x)|\le \frac{1}{e}$ pour tout $x\in ]0,1]$ (il suffit d’étudier la variation de la fonction $\varphi(x)=x\ln(x)$ sur $]0,1]$). Donc on a $\|f\|_\infty\le \frac{1}{e^n n!}=:a_n$ pour tout $n\in\mathbb{n}$. Comme $\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}\frac{n}{n+1}$ , alors ce rapport tend vers $e^{-1}<1$ a l’infini. Ainsi d’après la règle de d’Alembert, $\sum_n a_n$ est convergente, et donc la série de fonctions $\sum_n f_n$ converge normalement (donc) uniformément.
$\bullet$ On applique le théorème permutation intégrale et série, on trouve $$ \int^1_0 x^xdx= \int^1_0 \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\int^1_0 f_n(x)dx.$$
$\bullet$ Maintenant en calcul l’integrale de chaque fonction $f_n$. On pose $$ I_{n,p}:=\int^1_0 x^n (\ln(x))^p dx,\quad n,p\in\mathbb{N}.$$ Par integration par partie plusieurs fois, on obtient $I_{n,p}=\frac{p! (-1)^p}{(n+1)^{p+1}}$. Ainsi $$ \int^1_0 f_n(x)dx=\frac{1}{n!}I_{n,n}=\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}.$$ D’où le résultat.
Commutation intégrales généralisées et séries de fonctions
Parfois, nous rencontrons une suite de fonctions qui n’est pas définie sur un segment. De plus il arrive que la suite de fonctions ne converge pas uniformément, mais simplement. Dans de tels cas, nous nous intéressons au théorème d’intégration terme à terme sur un intervalle, qui s’énonce comme suit :
Théorème: Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définie sur un intervalle $I\subset \mathbb{R}$. On suppose que
- pour tout $n$, $f_n$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$,
- la série de fonctions $\sum_n f_n$ converge simplement vers une fonction $f$, et que $f$ est continue par morceaux sur $I$
- la série numérique $\sum_n \int_I |f_n|$ converge
Alors $f$ est integrale sur $I$, \begin{align*} & \int_I |f|\le \sum_n \int_I |f_n|,\cr & \int_I \left(\sum_n f_n\right)=\sum_n\left( \int_I f_n\right).\end{align*}
Exercices sur permutation des signes sommes sur un intervalle
Exercice: Montrer que $$ \int^{+\infty}_0 \frac{t}{e^t-1} dt=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.$$
$\bullet$ On pose $f:]0,+\infty)\to\mathbb{R}$ la fonction définie par $$ f(x)=\frac{t}{e^t-1}.$$ Cette fonction $f$ est continue sur $]0,+\infty[$. De plus la limite de $f$ en $0$ existe est égale a $1$, donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$. D’autre part, pour $t> 0$, on a $$ t^2 f(t)=\frac{t^3e^{-t}}{1-e^{-t}}\to 0\;(t\to+\infty).$$ Donc $f(t)=_{t\to+\infty}\circ(\frac{1}{t^2})$. Par le intégrale de Riemann, on a $f$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. Ainsi $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$.
$\bullet$ Pour tout $t>0$, on a $e^{-t}\in ]0,1[$. Donc en utilisant la séries géométrique de raison $e^{-t}$ on peut écrire \begin{align*} f(t)&= te^{-t} \frac{1}{1-e^{-t}}\cr &= te^{-t} \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n t} \cr &= \sum_{n=1}^{+\infty} te^{-nt}.\end{align*}
$\bullet$ On pose $f_n(t)=e^{-nt}$ pour tout $t\ge 0$ et $n\ge 1$. Il est claire que les $f_n$ sont continues sur $[0,+\infty[$, et que $t^2f_n(t)=t^3e^{-nt}\to 0$ quand $t\to +\infty$. Donc les fonctions $f_n$ sont intégrables sur $[0,+\infty[$.
$\bullet$ par intégration par parties on a \begin{align*} \int^{+\infty}_0 |f_n(t)|dt=\int^t_0 te^{-nt} dt=\frac{1}{n^2}.\end{align*} ce qui preuve que la série $$ \sum_n \int^{+\infty}_0 |f_n(t)|dt$$ est convergente.
$\bullet$ Finalement, par le le théorème de permutation des signes sommes sur un intervalle on a $$\int^{+\infty}_0 \frac{t}{e^t-1} dt=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.$$
