La fonction génératrice d’une variable aléatoire discrète donne un calcul simple de la loi de cette variable, et donc un calcul pratique de l’espérance, de la variance et de la covariance. Les fonctions génératrices sont souvent utilisées en probabilité pour relier les lois des variables aléatoires et la théorie bien développée des séries de puissance avec des coefficients non négatifs.
Dans cette page nous allons découvrir ensemble cette fonction magique et extraire quelques propriétés de cette fonction puis donner des exercices d’application. Les variable aléatoires introduites ici sont toutes supposées définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.
Série génératrice et fonction génératrice d’une variable aléatoire
Définition: On appelle série génératrice de la variable aléatoire $X,$ la série entière \begin{align*} \sum_{n}\mathbb{P}(X=n)t^n.\end{align*}
Notez que la série entière est de rayon de convergence au moins égal à $1$ et converge normalement sur le segment $[-1,1]$.
Définition: On appelle fonction génératrice d’une variable aléatoire discrète $X,$ la somme de sa série génératrice \begin{align*} G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X=n)t^n=\mathbb{E}(t^X).\end{align*}
Selon les propriétés de sommes des séries entière, la fonction génératrice $G_X$ est continue sur $]-R,R[$ ou $R\ge 1$ et le rayon de convergence de la séries génératrice de $X$. Donc il est au moins continue sur $[-1,1]$. En fait en probabilités la continuité de $G_X$ sur l’intervalle $[0,1]$ est souvent suffisante.
De la définition on voit que la fonction génératrice est entièrement déterminée par la loi de la variable $X$. A l’inverse, la loi de la variable aléatoire discrète $X$ est caractérisée par la fonction $G_X$ comme suit : $$\mathbb{P}(X=n)=\frac{G_X^{(n}(0)}{n!},\qquad \forall n\in\mathbb{N}.$$
Les fonctions génératrices des lois usuelles
Les expressions des fonctions génératrices des lois usuelles sont regroupées comme suit:
- Pour la loi Bernoulli $\mathcal{B}(p)$, on a $G_X(t)=(1-p)+pt$ pour $p\in [0,1]$.
- Si $X$ suit une loi Binomiale $\mathcal{B}(n,p),$ alors sa fonction génératrice est $G_X(t)=((1-p)+pt)^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [0,1]$.
- La fonction génératrice d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ est donnée par $G_X(t)=e^{\lambda (t-1)}$ pour tout réel $\lambda>0$
- Pour une variable aléatoire qui suit une loi géométrique $\mathcal{G},$ on a $G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}$ pour $p\in ]0,1[$.
Calcul de l’espérance, de variance de de somme en utilisant la fonction génératrice
Une variable aléatoire discrète $X$ admet une espérance si, et seulement si, sa fonction génératrice $G_X$ est dérivable en $1$. Dans ce cas, on a $$ \mathbb{E}(X)=G’_X(1).$$ La variable aléatoire $X$ admet une variance si, et seulement si, $G_x$ est deux fois dérivable en $1$, auquel cas on a $$V(X)=\ddot{G}_X(1)+\dot{G}_X(1)-(\dot{G}_X(1))^2.$$ Ce résultat reste encore vrais lorsque la série génératrice de $X$ est de rayon de convergence strictement plus grand que $1$.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aleatoires independantes a valeurs dans $\mathbb{N}$. Alors on a $$ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t),\qquad \forall t\in [-1,1].$$
