On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sommes de Riemann, intégration parties et changement de variables. En effet, ces sommes sont importantes pour calculer les limites de suites.
Exercices sur les intégrales de Riemann
Il est crucial de retenir qu’au contraire de ce qui est enseigné au lycée, l’intégrale d’une fonction bornée peut être définie sur un intervalle borné. Ainsi, pour qu’une fonction bornée sur un intervalle borné $[a,b]$ soit intégrable selon Riemann, il faut que la différence entre la somme supérieure et inférieure de Darboux tende vers $0$ lorsque le pas de la subdivision, qui définit ces sommes, se rapproche de $0$. Cette caractérisation est vérifiée pour les fonctions continues et les fonctions monotones.
Conseils pour un calcul efficace des intégrales
Lorsque vous abordez le calcul d’une intégrale et d’une primitive, il est essentiel de garder à l’esprit l’utilisation de l’intégration par parties, des changements de variables ou des propriétés des fonctions courantes. Voici quelques exemples illustratifs.
Exercice: Cet exercice paraît simple, mais son objectif est de vous illustrer comment utiliser de manière précise les formules d’intégration par parties et de changement de variables.
- En utilisant une intégration par parties, calcler $$ I=\int^1_0 xe^{-x}ds.$$
- En utilisant un changement de variables, calculer $$ J=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\ln(\sin{x})dx,$$
- Soient $a,b\in\mathbb{R}^ast$ tel que $a\neq b$ et $a+b\neq 0$. Calculer la primitive \begin{align*}K= \int \sin(ax)\sin(bx)dx.\end{align*}
- Pour l’intégral $I$ on a \begin{align*}I&= \int^1_0 xe^{-x}ds=\int^1_0 x (-e^{-x})’dx=\left[-xe^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}-\int^1_0 (x)'(-e^{-x})dx\cr &=-e^{-1}+\int^1_0 e^{-x}dx=-e^{-1}+\left[-e^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}=1-2e^{-1}.\end{align*} Ici, nous avons fait une intégration par partie. Dans ce cas, la fonction à l’intérieur de l’intégrale prend la forme $f g’$. Pour $f$ on choisit une fonction dont la dérivée est simple.
- On a \begin{align*} J=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\ln(\sin{x})dx\end{align*} fonction $x\mapsto \sin(x)$ est continue et strictement positive sur l’intervalle $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Donc la fonction $\mapsto \ln(\sin(x))$ est bien définie sur cet intervalle. De plus, on fait le changement de variable $u=\sin(x)$. Donc $du=\cos(x)dx$. En remplaçant dans l’intégrale on trouve \begin{align*}J&=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ln(u)du=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (u)’\ln(u)du\cr &=\left[ u\ln(u)\right]^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}u \frac{1}{u}du=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\ln(\sqrt{2})).\end{align*}
- La méthodes la plus simple est d’utiliser les formules trigonométriques. En effet, on sait que\begin{align*}\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\left(\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)\right).\end{align*} Ainsi \begin{align*} K=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin((a-b)x)}{a-b}-\frac{\sin((a+b)x)}{a+b}\right)+C,\end{align*} avec $C$ une constante réelle.
Exercice: Déterminer la primitive:\begin{align*}I=\int \frac{dx}{ \sqrt[3]{1+x^3}}.\end{align*}
Nous allons tout d’abord reformuler $I$ sous la forme d’une intégrale impliquant une fraction facile à évaluer. Pour ce faire, nous effectuerons deux changements de variable successifs. Le premier changement de variable est défini par$y=\frac{1}{x}$. Alors $dy= -\frac{dx}{x^2}= – y^2dx$, ce qui implique que $dx=-\frac{dy}{y^2}$. En remplace dans $I$ on trouve \begin{align*}I=-\int \frac{dy}{y^3\sqrt[3]{1+y^3}}.\end{align*} Maintenant le deuxième changement de variable défini par $t=\sqrt[3]{1+y^3}$. Ce qui donne $y^3=t^3-1$. Donc\begin{align*}I=-\int \frac{t}{t^3-1}dt.\end{align*}Il est important de décomposer cette fraction en éléments simple. En effet, on a\begin{align*}\frac{t}{t^3-1}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{t-1}-\frac{t-1}{t^2+t+1}\right).\end{align*}En intégre, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{3}\int \frac{t-1}{t^2+t+1},dt.\end{align*}D’autre part,\begin{align*}\int \frac{t-1}{t^2+t+1} dt= \frac{1}{2}\int \frac{2t+1}{t^2+t+1}dt -\frac{3}{2}\int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}Donc \begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}De plus \begin{align*}\int \frac{dt}{t^2+t+1}&=\int \frac{dt}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\cr &= \frac{4}{3}\int \frac{dt}{\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}.\end{align*} On trouve alors\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}En écrivant $t^3-1=y^3=\frac{1}{x^3}$ on trouve\begin{align*}t=\frac{\sqrt[3]{1+x^3}}{x}.\end{align*}Après tout calcul fait, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{2}\ln(&\sqrt[3]{1+x^3}-x)-\cr & \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{2\sqrt[3]{1+x^3}+x}{x}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}
Vous pouvez aussi voir les fonctions définies par une intégrale.
Formule de la moyenne pour les intégrales de Riemann
Rappelons la formule de la moyenne. Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ deux fonctions telles que $g\ge 0,$ $g$ intégrable sur $[a,b],$ et $f$ continue sur $[a,b]$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que\begin{align*}\int^b_a f(t)g(t)dt=f(c)\int^b_a g(t)dt.\end{align*}
Exercice: Calculer la limite \begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}.\end{align*}
Nous appliquons la formule moyenne. Pour $x>0,$ on choisit\begin{align*}g(t)=\frac{1}{t},\quad f(t)=e^{-t},\qquad t\in [x,3x].\end{align*} On a $g>0$ et intégrable sur $[x,3x]$ (car elle est continue), et $f$ est continue sur $[x,3x]$. Donc il existe $c_x\in [x,3x]$ (le $c$ depond de $x$ car si $x$ varie le $c$ varie aussi), tel que\begin{align*}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}&= \int^{3x}_x f(t)g(t)dtcr & = f(c)\int^{3x}_x f(t)g(t)dt\cr & = e^{-c_x}\log(3).\end{align*}Comme $x\le c_x\le 3x$, donc $c_x\to 0$ si $x\to 0$. Donc\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}=\log(3).\end{align*}
Sommes de Riemann
Rappelons c’est quoi une somme de Riemann. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$ et soit $a=x_0<x_1<\cdots<x_n$ une subdivision de $[a,b]$ definie par $x_n=a+k\frac{b-a}{n}$ pour $k=1,2,\cdots,n$. Alors \begin{align*}\int^b_a f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( a+k\frac{b-a}{n}\right).\end{align*} Un cas particulier important: $a=0$ et $b=1$, donc on a \begin{align*}\int^1_0 f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( \frac{k}{n}\right).\end{align*}
Exercice: Pour $\alpha>0,$ calculer la limite de la suite suivante:\begin{align*}u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n\alpha+k}.\end{align*}
On écrit \begin{align*} u_n&=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \frac{1}{\alpha+\frac{k}{n}}\cr & =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^nf\left( \frac{k}{n}\right)\end{align*}avec $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ est la fonction continue \begin{align*}f(x)=\frac{1}{\alpha=x}.\end{align*}Ainsi \begin{align*} \lim_{n\to\infty}u_n=\int^1_0 f(x)dx=\log\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right).\end{align*}
Exercices théoriques sur les intégrales de Riemann
Exercice: Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrable au sense de Riemann. Etudier la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, de\begin{align*}I_n=\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx.\end{align*}
On passe à la valeur absolue pour majorée $I_n$ par une suite qui tend vers $0$ à l’infini. Pour cela il faut se rappeler que toute fonction intégrable au sens de Riemann est bornée. Soit alors $M>0$ tel que $|f(x)|le M$ pour $x\in [0,1]$. On alors \begin{align*}|I_n|&=\left|\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx\right|\cr & \le \int^1_0 \frac{|f(x)|}{1+nx}dx \cr & \le M \int^1_0 \frac{dx}{1+nx}\cr &= \frac{M}{n}\ln(1+n).\end{align*}Comme \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} \frac{M}{n}ln(1+n)=0,\end{align*}alors $I_n$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$.
Pour la notion des intégrales généralisées souvent en utilise les intégrales propre et aussi les critères de comparaisons.
