Dans le vaste domaine des mathématiques, la théorie des ensembles et applications occupe une place fondamentale en fournissant un cadre conceptuel essentiel pour la modélisation et la résolution de problèmes variés.
Cette théorie repose sur l’étude des ensembles, qui sont des collections d’objets, ainsi que sur les relations et les fonctions qui peuvent être établies entre ces ensembles. En explorant les notions d’appartenance, d’opérations ensemblistes et de correspondances, ce cours jettera les bases nécessaires pour saisir la structure mathématique sous-jacente à de nombreux domaines, allant de l’algèbre à l’analyse en passant par la topologie.
Introduction aux ensembles
Définitions fondamentales : élément, ensemble, appartenance, cardinalité
Au cœur de la théorie des ensembles se trouvent des concepts fondamentaux qui jettent les bases de toute l’étude ensembliste.
Un élément est un individu distinct qui peut être inclus dans un ensemble.
Un ensemble, quant à lui, est une collection d’éléments, formant ainsi une unité distincte dans notre exploration mathématique.
L’appartenance est la relation qui relie un élément à un ensemble, indiquant si l’élément fait partie de cet ensemble. Cette notion d’appartenance donne lieu à des distinctions cruciales entre les éléments inclus et exclus d’un ensemble donné.
La cardinalité d’un ensemble se réfère au nombre d’éléments qu’il contient. L’appréhension de ces définitions fournira une base solide pour l’analyse plus approfondie des propriétés et des opérations ensemblistes.
Notations ensemblistes dans la théorie des ensembles et applications
Afin de communiquer efficacement les concepts ensemblistes, des notations spécifiques ont été développées. Les ensembles sont souvent représentés par des lettres majuscules (comme $A, B, C$) et leurs éléments associés sont énumérés entre accolades. Par exemple, si $A =\{1, 2, 3\}$, les éléments 1, 2 et 3 appartiennent à l’ensemble $A$.
L’appartenance est notée par le symbole $\in$ ce qui signifie « appartient à ». Par conséquent, si $x\in A,$ cela signifie que l’élément $x$ fait partie de l’ensemble $A$. De plus, le symbole $\notin$ est utilisé pour indiquer que l’élément ne fait pas partie de l’ensemble.
Des notations spéciales sont également utilisées pour représenter les opérations ensemblistes telles que l’union $\cup$, l’intersection $\cap$ et la différence (\). Ces notations simplifient l’expression d’opérations complexes entre ensembles et facilitent la manipulation symbolique.
Opérations sur les ensembles
Union, intersection, différence
Les opérations fondamentales sur les ensembles fournissent les moyens de manipuler et de combiner des ensembles de diverses manières. L’union de deux ensembles A et B, notée $A \cup B$, est définie comme l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A, à B, ou aux deux à la fois :
$$ A \cup B=\{x: x\in A\;\text{ou}\; x\in B\}.$$
L’intersection de A et B, notée $A \cap B$, consiste en l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B :
$$ A \cap B=\{x: x\in A\;\text{et}\; x\in B\}.$$
La différence entre A et B, notée $A \setminus B$ (ou $A – B$), comprend les éléments qui sont dans A mais pas dans B :
$$ A \setminus B=\{x: x\in A\;\text{et}\; x\notin B\}.$$
Complémentaire, produit cartésien
Le complémentaire d’un ensemble A par rapport à un ensemble universel U, noté $A’$ ou $A^c$, est constitué des éléments de U qui ne sont pas dans A :
$$ A^c=\{x: x\in U\;\text{et}\; x\notin A\}.$$
Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté $A \times B$, est l’ensemble de toutes les paires ordonnées (a, b) où a appartient à A et b appartient à B :
$$ A\times B=\{(a,b): a\in A\;\text{et}\; b\notin B\}.$$
Lois de Morgan dans la théorie des ensembles et applications
Les lois de Morgan sont des relations importantes qui décrivent la façon dont les opérations ensemblistes se comportent par rapport aux complémentaires et aux opérations mutuelles. La première loi énonce que le complémentaire de l’union de deux ensembles est égal à l’intersection de leurs complémentaires :
$$ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.$$
La seconde loi indique que le complémentaire de l’intersection de deux ensembles est égal à l’union de leurs complémentaires :
$$ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$$
Ces lois fournissent des outils puissants pour simplifier les expressions ensemblistes complexes et établir des relations entre les ensembles.
Ensembles spécifiques dans la théorie des ensembles et applications
Ensembles vides et universels
Les concepts d’ensembles vides et universels jouent des rôles cruciaux dans la théorie des ensembles. L’ensemble vide, noté $\emptyset$, est l’ensemble qui ne contient aucun élément. C’est une entité fondamentale lorsqu’aucune donnée n’est présente. À l’opposé, l’ensemble universel, noté U, englobe tous les éléments d’intérêt dans le contexte donné. Ces deux ensembles servent de points de référence pour établir des relations et des opérations sur d’autres ensembles.
Ensembles finis et infinis
Les ensembles peuvent être catégorisés en tant qu’ensembles finis ou ensembles infinis en fonction du nombre d’éléments qu’ils contiennent. Un ensemble est considéré comme fini lorsque son nombre d’éléments est limité, tandis qu’un ensemble infini possède une multitude d’éléments. Les propriétés et les comportements des ensembles finis et infinis diffèrent de manière significative, et la compréhension de ces catégories est essentielle pour l’analyse ensembliste et la modélisation mathématique.
Ensembles particuliers : ensembles des nombres entiers, des nombres réels, etc.
Certains ensembles spécifiques jouent des rôles particulièrement importants dans les mathématiques et ont des caractéristiques uniques. Parmi eux, l’ensemble des nombres entiers, noté $\mathbb{Z}$, regroupe les nombres positifs, négatifs et zéro. L’ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb{Q}$, comprend les fractions où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. L’ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, couvre toute la gamme des nombres, y compris les nombres irrationnels tels que $\pi$ et $\sqrt{2}$. L’étude de ces ensembles particuliers et de leurs propriétés offre des aperçus cruciaux dans divers domaines des mathématiques et des sciences appliquées.
Sous-ensembles et ensembles équivalents
Inclusion et égalité d’ensembles
La relation d’inclusion entre deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \subseteq B$, signifie que chaque élément de $A$ est également un élément de $B$. Si tous les éléments de $A$ appartiennent à $B$, alors $A$ est un sous-ensemble de $B$. Si $A$ est un sous-ensemble de $B$ et $B$ est un sous-ensemble de $A$, alors les ensembles $A$ et $B$ sont égaux et on le note $A = B$. L’étude de l’inclusion et de l’égalité d’ensembles permet de comparer et de classer les ensembles en fonction de leurs éléments communs.
Sous-ensembles, sous-ensembles stricts
Un sous-ensemble strict est un sous-ensemble qui ne contient pas tous les éléments de l’ensemble de référence. On le note $A \subset B$ pour indiquer que $A$ est un sous-ensemble de $B$, mais qu’il existe au moins un élément dans $B$ qui n’appartient pas à $A$. En revanche, si $A$ est un sous-ensemble de $B$ et contient potentiellement tous les éléments de $B$ sans être nécessairement égal à $B$, on utilise la notation $A \subseteq B$. La distinction entre sous-ensembles stricts et sous-ensembles non stricts permet de clarifier les relations entre les ensembles.
Ensembles équivalents et cardinalité
Deux ensembles $A$ et $B$ sont considérés comme équivalents si leur cardinalité est la même, c’est-à-dire s’ils contiennent le même nombre d’éléments. Cela se note généralement comme $|A| = |B|$. Les ensembles équivalents peuvent être de types différents, mais ils partagent cette propriété cardinale commune. La notion de cardinalité ou de « taille » d’un ensemble permet de mesurer et de comparer le nombre d’éléments entre ensembles, ou d’identifier des structures similaires dans des contextes distincts.
Opérations sur les ensembles numériques
Ensembles numériques : naturels, entiers relatifs, rationnels, irrationnels, réels
Les ensembles numériques jouent un rôle crucial dans diverses branches des mathématiques et de la science. L’ensemble des nombres naturels ($\mathbb{N}$) comprend les nombres entiers positifs : 1, 2, 3, et ainsi de suite. Les entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) regroupent les nombres positifs, négatifs et zéro. Les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) sont les nombres qui peuvent être exprimés sous forme de fraction, où le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction exacte, tels que $\sqrt{2}$ ou $\pi$. L’ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$) englobe tous les nombres possibles sur la droite numérique, qu’ils soient rationnels ou irrationnels. Comprendre ces ensembles numériques est essentiel pour explorer la structure et les propriétés des nombres.
Densité des ensembles dans la théorie des ensembles et applications
La densité des ensembles est une notion clé dans l’étude des ensembles numériques. Un ensemble est dit dense dans un autre ensemble s’il contient des éléments arbitrairement proches de tout élément de cet autre ensemble. Par exemple, les nombres rationnels sont denses dans les nombres réels, car entre deux nombres réels quelconques, on peut toujours trouver un nombre rationnel. De même, les nombres irrationnels sont denses dans les nombres réels. Cette propriété de densité a des implications profondes pour l’approximation et la continuité des fonctions réelles, et elle est fondamentale pour de nombreux concepts mathématiques et applications scientifiques. On peut aussi voir la densité de certaines classes de fonctions continues dans des espaces de fonctions plus larges.
Applications entre ensembles
Les applications entres ensemble est une partie essentielle dans la théorie des ensembles et applications. Ici nous donnons un résumé du concept.
Définitions et notations : application, fonction, domaine, image, préimage
Les applications ou fonctions sont des correspondances qui associent chaque élément d’un ensemble (appelé le domaine) à un élément d’un autre ensemble (appelé le codomaine). Une application est notée $f : A \to B$, où $A$ est le domaine et $B$ est le codomaine. L’élément $f(x)$ dans le codomaine est appelé l’image de l’élément $x$ dans le domaine. L’ensemble des éléments images constitue la cible (ou l’image) de l’application. Pour chaque élément $y$ dans le codomaine, l’ensemble des éléments du domaine associés à $y$ par l’application est appelé la préimage de $y$.
Théorie des ensembles et applications: Injectivité, surjectivité, bijectivité
Les propriétés d’une application concernant les relations entre son domaine et son codomaine sont essentielles à son étude.
Une application est injective si chaque élément du domaine est associé à un unique élément dans le codomaine:
$f:A\to B$ est injective si et seulement si pour $x,y\in A$, $$ f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y.$$
Elle est surjective si elle couvre tout le codomaine, c’est-à-dire que chaque élément du codomaine est l’image d’au moins un élément du domaine:
$f:A\to B$ est surjective si et seulement si pour tout $y\in B$, il existe (au moins) $x\in A,$ tel que $y=f(x)$.
Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective, ce qui signifie qu’elle établit une correspondance univoque entre les éléments du domaine et ceux du codomaine:
$f:A\to B$ est bijective si et seulement si $$ \forall y\in B,\; \exists ! x\in A\;\text{tel que}\; y=f(x).$$
Les propriétés d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité sont fondamentales dans théorie des ensembles et applications, pour comprendre les relations entre les ensembles par l’intermédiaire des applications.
Compositions et inverses
Composition d’applications
La composition d’applications est un moyen puissant de combiner des fonctions pour créer de nouvelles relations entre les ensembles. Si $f : A \to B$ et $g : B \to C$ sont deux applications, leur composition $g \circ f : A \to C$ est définie en appliquant d’abord $f$ aux éléments de $A$ et ensuite $g$ aux résultats obtenus. En d’autres termes, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ pour tout $x$ dans le domaine de $f$. La composition d’applications permet de modéliser des transformations complexes et de relier des ensembles de manière profonde.
Applications réciproques et inverses
Lorsqu’une application $f : A \to B$ est bijective, elle admet une application réciproque, notée $f^{-1} : B \to A$. L’application réciproque est définie de telle manière que si $y$ est l’image d’un élément $x$ par $f$, alors $x$ est l’image de $y$ par $f^{-1}$. Les applications réciproques établissent une correspondance inverse entre les éléments du domaine et ceux du codomaine. L’application réciproque est également appelée inverse de $f$, et elle possède des propriétés importantes en ce qui concerne les opérations et les relations entre ensembles. La connaissance des applications réciproques et inverses est fondamentale pour manipuler et résoudre des équations fonctionnelles complexes.
Images directes et images réciproques
Image directe d’un ensemble
L’image directe d’un ensemble par une application $f : A \to B$ est l’ensemble des images des éléments de cet ensemble par l’application. Formellement, si $E$ est un sous-ensemble de $A$, l’image directe de $E$ par $f$ est notée $f(E)$ et définie comme :
$$f(E)=\{ f(x): x\in E\}.$$
L’image directe permet de comprendre comment une application transforme les éléments d’un ensemble initial dans l’ensemble d’arrivée. Elle joue un rôle essentiel dans l’étude des transformations et des relations entre ensembles.
Image réciproque d’un ensemble
L’image réciproque d’un ensemble par une application $f : A \to B$ est l’ensemble des éléments du domaine dont les images appartiennent à cet ensemble. Si $F$ est un sous-ensemble de $B$, l’image réciproque de $F$ par $f$ est notée $f^{-1}(F)$ et définie comme :
$$f^{-1}(F)=\{ x\in A: f(x)\in F\}.$$
L’image réciproque révèle les éléments du domaine qui contribuent à former l’ensemble dans le codomaine. Cette notion est particulièrement utile pour étudier les préimages des ensembles cibles et pour analyser les relations entre les deux ensembles dans le contexte de l’application.
Ensembles ordonnés et relations d’ordre
Relations binaires
Les relations binaires jouent un rôle clé dans la théorie des ensembles ordonnés en établissant des liens entre les éléments d’un ensemble. Une relation binaire sur un ensemble $A$ est généralement représentée par un symbole comme $\leq$, $<$, $\geq$, $>$, etc. Si $x$ et $y$ sont deux éléments de $A$, alors $x$ est en relation avec $y$ si la propriété définie par la relation est vérifiée. Les relations binaires servent de base pour définir et étudier les ensembles ordonnés.
Relations d’ordre partiel et total
Une relation d’ordre partiel sur un ensemble $A$ est une relation binaire qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Cela signifie que chaque élément est en relation avec lui-même, qu’aucune paire d’éléments distincts n’est en relation dans les deux sens et que si $x$ est en relation avec $y$ et $y$ est en relation avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. Une relation d’ordre total est une relation d’ordre partiel dans laquelle tout élément est en relation avec tout autre élément de l’ensemble.
Ensemble ordonné, minimum, maximum, bornes
Un ensemble ordonné est un ensemble accompagné d’une relation d’ordre. Les éléments d’un ensemble ordonné peuvent être comparés les uns par rapport aux autres en fonction de la relation d’ordre. Un élément $x$ est un minimum de l’ensemble ordonné s’il est inférieur ou égal à tous les autres éléments de l’ensemble. De même, un élément $y$ est un maximum s’il est supérieur ou égal à tous les autres éléments. Les bornes inférieures et supérieures d’un sous-ensemble donné sont les éléments les plus petits et les plus grands qui sont supérieurs ou égaux à tous les éléments du sous-ensemble. La théorie des ensembles ordonnés fournit des outils pour analyser les propriétés de comparabilité et de structure des ensembles. La notion de l’ordre est une propriété impotrante dans la théorie des ensembles et applications
Applications et ensembles ordonnés
Monotonie d’une application
La monotonie d’une application est une propriété essentielle dans les ensembles ordonnés. Une application $f : A \to B$ est dite croissante si, pour tous les éléments $x$ et $y$ de $A$ tels que $x \leq y$, l’image de $x$ est inférieure ou égale à l’image de $y$ : $f(x) \leq f(y)$. À l’inverse, l’application est dite décroissante si, pour tous les éléments $x$ et $y$ de $A$ avec $x \leq y$, l’image de $x$ est supérieure ou égale à l’image de $y$ : $f(x) \geq f(y)$. La monotonie joue un rôle clé dans l’analyse des transformations préservant l’ordre entre les ensembles.
Application croissante, décroissante
Une application est strictement croissante si, pour tous les éléments $x$ et $y$ de $A$ avec $x < y$, l’image de $x$ est strictement inférieure à l’image de $y$ : $f(x) < f(y)$. De même, une application est strictement décroissante si, pour tous les éléments $x$ et $y$ de $A$ avec $x < y$, l’image de $x$ est strictement supérieure à l’image de $y$ : $f(x) > f(y)$. Les applications croissantes et décroissantes sont étroitement liées aux relations d’ordre et aux propriétés de comparaison dans les ensembles.
Images directes et réciproques de parties ordonnées
Lorsque des parties ordonnées sont soumises à des applications, les propriétés d’ordre peuvent être préservées. L’image directe d’une partie ordonnée par une application croissante (ou décroissante) est également ordonnée de manière croissante (ou décroissante). De même, l’image réciproque d’une partie ordonnée par une application croissante (ou décroissante) est ordonnée de la même manière dans le domaine. Ces propriétés montrent comment les transformations préservent la structure ordonnée entre les ensembles, ce qui est crucial pour analyser les relations et les transformations dans les ensembles ordonnés.
