La fonction de répartition d’une variable aléatoire permet de décrire la loi des variables aléatoires. Il existe une autre fonction appelée fonction de mass qui fait le même travail, mais pour les variables aléatoires discrètes. L’avantage du fonction de répartition est qu’il peut être défini pour tout type de variable aléatoire (discrète, continue et mixte).
Fonction de répartition: définition et propriétés
Dans toute la suite $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ est un espace de probabilité.
Définition: La fonction de répartition d’une variable aléatoire $X:\Omega\to \mathbb{R}$ est une fonction $F_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par: $$ F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x),\quad \forall x\in\mathbb{R}.$$
La fonction $F_X$ vérifie les propriété suivantes:
- $F_X(\mathbb{R})\subset [0,1]$ et $F_X$ est une fonction croissante;
- La fonction $F_X$ est partout continue à droite;
- $F_X(x)\to 0$ quand $x\to-\infty$ et $F_X(x)\to 1$ si $x\to+\infty$.
Remarque: On rappelle aussi que si une fonction $F$ vérifie les trois propriété précédentes alors elle est la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X,$ i.e. $F=F_X$ avec $X:\Omega\to\mathbb{R}$ une variable aléatoire.
La fonction $F_X$ caractérise la loi de la variable aléatoire $X$, et pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ tel que $a\le b,$ on a $\mathbb{P}(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$.
Si $X$ est une variable aléatoire à densité $f,$ alors on a $$F_X(x)=\int^x_{-\infty}f(x)dx.$$