Étude de la fonction Gamma

Nous donnons une étude de la fonction Gamma d’Euler dans le cas de variables réelles et complexes. Cette fonction a une relation étroite avec le nombre factoriel. En fait, elle est introduite pour étendre la notation de la factorielle aux nombres arbitraires.

Étude de la fonction gamma dans le cas réels

La fonctions gamma réelle est définie par l’intégrale généralisée suivante \begin{align*} \Gamma(x)=\int^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}dt.\end{align*}

1. La fonction $\Gamma$ est bien définie sur $]0,+\infty[$. En effet, il suffit de montrer que l’intégrale est convergente pour $x>0$. D’une part, on a \begin{align*} t^{x-1}e^{-t}\underset{t\to 0}{\sim} \frac{1}{t^{1-x}}.\end{align*} Donc, par comparaison avec l’intégral généralisé de Riemann, l’intégrale définissant $\Gamma$ est converge en $0$ si et seulement si $1-x<1$, ce qui donne $x>0$. D’autre part, pour $x>0$, on a $ t^{x-1}e^{-t}=o(\frac{1}{t^2})$ au voisinage de $+\infty,$ donc on a convergence en $+\infty$ pour les réels $x>0$. Conclusion $\Gamma:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$ est bien définie.
2. La fonction gamma est continue sur $]0,+\infty[$. Nous allons applique un théorème de continuité sous le signe somme (voir le chapitre intégrales dépendant d’un paramètre). En effet, soit la fonction \begin{align*} \varphi(x,t)= t^{x-1}e^{-t},\quad (x,t)\in \mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}_+.\end{align*} Soit $\alpha,\beta\in ]0,+\infty[$ tel que $\alpha<\beta$. Soit $t\in ]0,1]$. Puisque la fonction $x\mapsto t^{x-1}$ est décroissante, alors $0<\varphi(x,t)\le t^{\alpha-1}$, pour tout $x\in [\alpha,\beta]$. D’autre part, si $t\ge 0,$ alors la fonction $x\mapsto t^{x-1}$ est croissante et donc $0<\varphi(x,t)\le t^{\beta-1}$ pour tout $x\in [\alpha,\beta]$. Maintenant on pose \begin{align*} g(t)=\begin{cases} t^{\alpha-1},& t\in ]0,1],\cr t^{\beta-1},& t\ge 1.\end{cases}\end{align*} Cette fonction est positive, continue par morceau et intégrable sur $]0,+\infty[$. De plus on a $0<\varphi(x,t)\le g(t)$ pour tout $(x,t)\in [\alpha,\beta]\times ]0,+\infty[$. Ce sont les conditions qui conduisent à la conclusion que $\Gamma(x)=\int_{]0,+\infty[} \varphi(x,t)dt$ est continue sur $]0,+\infty[$.
3. $\Gamma$ est une fonction de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur $]0,+\infty[$, et pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast$ et $x>0$ on a \begin{align*} \tag{$P(k)$}\Gamma^{(k)}(x)=\int^{+\infty}_0 (\ln(t))^k e^{-t}t^{x-1}dt.\end{align*} En fait, la fonction $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur $(\mathbb{R}_+^\ast)^2$ et que pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast$ et $(x,t)\in (\mathbb{R}_+^\ast)^2,$ on a \begin{align*} \frac{\partial^k \varphi}{\partial x^k}(x,t)=(\ln(t))^k e^{-t}t^{x-1}.\end{align*} D’autre part, soit la fonction \begin{align*} g_k(t)= |\ln(t)|^k g(t),\quad \forall t>0.\end{align*} On a alors \begin{align*} \left |\frac{\partial^k \varphi}{\partial x^k}(x,t)\right|\le g_k(t),\quad \forall (x,t)\in [\alpha,\beta]\times ]0,+\infty[.\end{align*} Remaquons qu’au voisinage de $0$ la fonction $g_k(t)$ est dominée par la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{1-\frac{a}{2}}}$, donc intégrable au voisinage de $0$. De plus au voisinage de $+\infty$, la fonction $t\mapsto g_k(t)$ est dominée par la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^2},$ donc intégrable au voisinage de $+\infty$. Ainsi $g_k$ continue par morceaux et intégrable sur $]0,+\infty[$. Pour $k=1,$ tout les condition du théorème de dérivation sous le signe intégrale sont vérifies surtout pour chaque intervalle $[\alpha,\beta]$ on a une fontion $g_1\ge 0$, continue par morceaux, intégrable sur $]0,+\infty[$ et qui domine la la fonction $\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,t)$ sur $[\alpha,\beta]\times ]0,+\infty[$. Ainsi $\Gamma$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ et que la propriété $(P(1))$ est vérifiée. En suite, on suppose que $(P(k))$ est vraie et montrons $(P(k+1))$. En effet, si on pose $\varphi_k =\frac{\partial^k \varphi}{\partial x^k},$ alors $$\left| \frac{\partial \varphi_k}{\partial x}(x,t)\right|\le g_{k+1}(t),\quad \forall (x,t)\in [\alpha,\beta]\times ]0,+\infty[.$$ Alors par la même conclusion que précédemment, on a $\Gamma^{(k)}$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ et on a \begin{align*} \frac{d}{dx}(\Gamma^{(x)})&=\int^{+\infty}_0 \frac{\partial \varphi_k}{\partial x}(x,t) dt\cr &= \int^{+\infty}_0 (\ln(t))^{k+1} e^{-t}t^{x-1}dt.\end{align*} Ainsi $(P(k+1))$ est vraie.