Lorsque le théorème de convergence dominée de Lebesgue n’est pas applicable, on utilise le lemme de Fatou qui est une version plus faible. Ce lemme est parfois très utile pour prouver des estimations d’intégrales.
Théorème (Lemme de Fatou): Soit $(E,\mathscr{B},\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)_n$ une suite de fonctions mesurables et positives sur $E$. Alors la limite inférieure de la suite est mesurable et \begin{align*} \int_E \underset{n}{\liminf}f_n d\mu\le \underset{n}{\liminf}\int_E f_n d\mu.\end{align*}
La preuve de ce lemme est principalement basée sur le théorème de convergence monotone.
Exercices corrigés sur le lemme de Fatou
Exercices: Soit $(E,\mathscr{B},\mu)$ un espace mesuré et soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions mesurable positives et qui converge simplement vers une fonction $f$. On suppose qu’il existe une constante $M>0$ telle que $\int_E f_nd\mu\le M$. Montrer que $\int_E fd\mu\le M$.
Solution: Noter que $f(x)=\underset{n}{\liminf}f_n (x)$ pour tout $x\in E$, car $f_n(x)\to f(x)$ quand $n\to\infty$. Maintenanant selon le lemme de Fatou on a \begin{align*} \int_E fd\mu=\int_E \underset{n}{\liminf}f_n d\mu&\le \underset{n}{\liminf}\int_E f_n d\mu\cr & =\sup_{n}\inf_{k\ge n}\int_E f_k d\mu\cr & \le M.\end{align*}