Nous vous proposons une sélection d’extraits des annales de mathématiques pour terminale A, baccalauréat scientifique. En effet, nous traitons des problèmes qui combinent l’étude des fonctions avec des intégrales et des suites de nombres réels. De plus, nous donnerons des problèmes sur des nombres complexes.
Extraits des annales de mathématiques pour terminale sur les suites
Problème: Soit la suite numérique réelle $(u_n)$ définie par \begin{align*}u_{n}=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right),\qquad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}
- Calculer $u_{n+1}-u_n$ et déduire que la suite $(u_n)_n$ est décroissante.
- On pose $v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Calculer $v_n$ en fonction de $n,$ puis la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. La suite $(v_n)$ est-elle convergente ?
- On pose $w_n=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}$. Calculer $w_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $w_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. la suite $(w_n)_n$ est elle convergente ?
Solution:
- Pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)-\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr & = \ln\left(\frac{n+2}{n+1}\frac{n}{n+1}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right).\end{align*}D’autre part, $0 < n^2+2n < n^2+2n+1$, ce sui implique que\begin{align*}0 < \frac{n^2+2n}{n^2+2n+1} < 1.\end{align*}Par suite \begin{align*}\ln\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right) < 0.\end{align*}Donc pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$ $u_{n+1}-u_n < 0$. En conséquence la suite $(u_n)_n$ est strictement décroissante.
- On a \begin{align*}v_n&=u_1+u_2+\cdots+u_n\cr & = \ln\left(\frac{2}{1}\right)+\ln\left(\frac{3}{2}\right)+\ln\left(\frac{4}{3}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots\times \frac{n+1}{n}\right)\cr &= \ln(n+1).\end{align*}D’où \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} v_n=+\infty.\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est divergente.
- Pour tout $n\in \mathbb{N}^\ast$ on a\begin{align*}W_n&=u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{2n}\cr & = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)+\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)+\ln\left(\frac{n+3}{n+2}\right)+\cdots+\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{n+1}{n}\times \frac{n+2}{n+1}\times\frac{n+3}{n+2}\times \cdots\times \frac{2n+1}{2n}\right)\cr &= \ln\left(\frac{2n+1}{n}\right).\end{align*} Ce qui implique \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} w_n=\ln(2).\end{align*}Donc la suite $(v_n)_n$ est convergente.
Probleme (suites et nombres complexes): Les suites géométriques complexes sont définies de la même manière que les suites géométriques réelles. Considérons la suite géométrique complexe $(u_n)_n$ définie par: \begin{align*} u_0=1\quad\text{et}\quad u_n=\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}\right)u_{n-1},\quad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}
- Calculer le module et l’argument de la raison $q:=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}$ de la suite $(u_n)$. Ecrire les nombres complexes $u_1,u_2,u_3$ et $u_4$ sous forme algébrique et trigonométrique.
- Calculer $u_n$ en fonction de $n$. Préciser le module et l’argument de $u_n$.
- Pour quelles valeurs de l’entier naturel $n,$ $u_n$ est-il réel?
- Calculer, si elle existe, la limite du module $|u_n|$ de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.
- Calculer le plus petit nombre naturel $n_0$ tel que, pour tout nombre naturel $n$ supérieur à $n_0,$ on ait $|u_n|<10^{-3}$.
Solution:
- On a \begin{align*} q&=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cr&=\frac{1}{2}\left(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}\right).\end{align*} D’où $|q|=\frac{1}{2}$ et $\arg q\equiv \frac{\pi}{3}\;[2\pi]$. En appliquant la relation $(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ pour tour $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, on a \begin{align*} &u_1=u_0 q=q=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}= \frac{1}{2}\left(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}\right)\cr & u_2=u_0 q^2=\frac{1}{4}\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{8}+i\frac{\sqrt{3}}{8},\cr & u_3=u_0 q^3=\frac{1}{8} (\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-\frac{1}{8},\cr & u_4=\frac{1}{16}(\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3}))=-\frac{1}{32}-i\frac{\sqrt{3}}{32}.\end{align*}
- Déterminer $u_n$ en fonction de $n$. On a $u_n=u_0 q^n$, et donc \begin{align*} u_n=\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}\right)^n=\frac{1}{2^n} (\cos(\frac{n\pi}{3})+\sin(\frac{n\pi}{3})),\quad \forall n\in \mathbb{N}.\end{align*} Ainsi $|u_n|=\frac{1}{2^n}$ et $\arg u_n=n\frac{\pi}{3}\;[2\pi]$.
- $u_n\in\mathbb{R}$ si et seulement si $\frac{1}{2^n}\sin(n\frac{\pi}{3})=0$ si et seulement si $n\frac{\pi}{3}=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}^+$ (car $n\in\mathbb{N}$) si et seulement si $n=3k$ pour tout $k\in\mathbb{N}$. Ce qui donne $n\in3\mathbb{N}$ ($3\mathbb{N}$ étant l’ensemble des multiples de $3$).
- Pour la limite on a \begin{align*} \lim_{n\to+\infty}|u_n|=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\quad (\text{car}\; 0<\frac{1}{2}<1.\end{align*}
- Détermination de $n_0$: on a \begin{align*} |u_n|<10^{-3}\Longleftrightarrow \frac{1}{2^n}<10^{-3}\Longleftrightarrow 2^n>10^3.\end{align*} En applicant la croissance de la fonction $x\mapsto\log(x)$, on trouve $n\log(2)>3$, et donc $n>\frac{3}{\log(2)}=9.96$. Comme $10$ est l’entier naturel le plus proche supérieur à $9.96$, on a alors $n_0=9$. Ainsi $|u_n|<10^{-3}$ dès que $n>n_0=9$.