Plongeons-nous dans le mystérieux domaine des permutations et découvrons ensemble le magnifique groupe symétrique. Attachez vos ceintures, car nous allons explorer des définitions, des propriétés et des concepts captivants qui vous ouvriront les portes vers un nouvel univers mathématique.
Les bases du groupe symétrique
Définition du groupe symétrique
Commençons par le commencement. Les permutations sont comme les changements de places que vous faites avec les cartes lors d’une partie de poker, ou les variations d’ordre lorsque vous organisez votre playlist musicale.
En mathématiques, les permutations sont des bijections d’un ensemble $E$ sur lui-même. L’ensemble de toutes les permutations sur $E$ sera noté $S(E)$.
$(S(E),\circ)$ est un groupe appelé groupe symetrique (ou bien groupe de permutations) de l’ensemble $E$.
Dans la plus part des cas $E$ est un ensemble fini de la forme $E=\{1,2,\cdots,n\}$, et donc $S(E)$ sera noté tout simplement par $S_n$. Il est bien claire que $S_n$ est un groupe fini d’ordre $n!$. Dans ce qui suit les éléments de $S_n$ seront appelés permutations.
Le groupe symétrique $S_n$ est l’ensemble de toutes les permutations possibles d’un ensemble à $n$ éléments. Oui, vous avez bien compris, toutes les manières possibles de réarranger les éléments. Et devinez quoi ? $S_n$ forme un groupe ! Un groupe est simplement un ensemble muni d’une opération (dans ce cas, la composition des permutations) qui satisfait certaines règles.
Une permutation $\sigma\in S_n$ sera notée $$ \begin{pmatrix} 1&2&\cdots n\\ \sigma(1)&\sigma( 2)&\cdots \sigma(n)\end{pmatrix}.$$
Propriétés
Si deux ensembles finis $E$ et $F$ sont ont bijection, alors leurs groupes symétriques associés sont isomorphes, $S(E)\cong S(F)$.
En effet, si $f:E\to F$ est bijective, alors pour tout $\sigma\in S(E)$ on a $f\circ \sigma\circ f^{-1}:F\to F$ est une bijection, donc $f\circ \sigma\circ f^{-1}\in S(F)$. Ainsi on a construit une application $$ \psi: S(E)\to S(E),\quad \psi(\sigma)=f\circ \sigma\circ f^{-1},$$ est c’est isomorphisme fde groupe.
Le groupe symetrique $S_n$ n’est jamais commutatif dès que $n\ge 3$ (la plupart du temps!)
En effet, l’exemple suivant explique la situation: Soient $$ \tau=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}.$$ Alors $\tau\circ\sigma\neq \sigma\circ \tau$.
Les transpositions
Une transposition est une opération simple mais puissante qui échange deux éléments d’un ensemble tout en laissant les autres en place.
Pensez-y comme à un mouvement élégant qui transforme subtilement l’ordre des éléments, tout en conservant l’équilibre du tout. Les transpositions jouent un rôle crucial dans la décomposition en cycles des permutations, nous permettant de dévoiler les mouvements sous-jacents qui animent les réarrangements.
Toute permutation est produit (non unique) de transpositions.
Dans le groupe symétrique, les transpositions forment les « briques » fondamentales à partir desquelles nous pouvons construire n’importe quelle permutation. Elles sont comme les pinceaux d’un artiste, permettant des transformations précises et expressives.
Les cycles
Un cycle est une séquence d’éléments qui se déplacent les uns vers les autres de manière cyclique. Pensez-y comme à une danse complexe où chaque élément échange sa place avec le suivant dans une harmonie parfaite. Les cycles forment un langage visuel puissant pour décrire les transformations sous-jacentes des permutations.
Définition: Un $k$-cycle $(x_1\cdots x_k)$ est une permutation $\sigma$ tel que $\sigma(x_1)=x_2,$ $\sigma(x_2)=x_3$,$\cdots$, $\sigma(x_k)=x_1,$ et $\sigma(y)=y$ pour tout $y\neq x_i$ pour tout $i$. Un $2$-cycle est appelé une transposition.
La décomposition en cycles est un peu comme résoudre un puzzle intrigant. En analysant une permutation, nous pouvons la briser en une série de cycles, chaque cycle représentant un groupe d’éléments qui interagissent entre eux. C’est comme si chaque cycle avait sa propre histoire à raconter dans le grand récit des réarrangements.
Toute permutation $\rho$ ne peut s’écrire que sous la forme d’un produit de cycles disjoints de longueur supérieure à 1.
Dans le groupe symétrique, les cycles apportent une dimension de structure et d’ordre. Ils nous aident à démêler les mouvements complexes des éléments et à apprécier l’élégance sous-jacente des permutations. Alors, préparez-vous à plonger dans le tourbillon des cycles et à explorer comment ces motifs cycliques nous guident vers de nouvelles perspectives et découvertes passionnantes dans le royaume des permutations.
Théoreme de Cayley et son relation avec le groupe symétrique
Préparez-vous à être émerveillés par l’une des perles les plus brillantes de la théorie des groupes : le Théorème de Cayley. Imaginez une toile magique tissée avec les fils subtils des permutations et des transformations, révélant un lien puissant entre un groupe et sa propre structure.
Le Théorème de Cayley affirme avec élégance que tout groupe fini peut être « plongé » de manière unique dans un groupe de permutations. Autrement dit, chaque groupe peut être vu comme un sous-groupe d’un groupe symétrique approprié. C’est comme si chaque groupe avait sa propre place de choix dans l’ensemble vaste et enchevêtré des permutations.
Theoreme de Cayley: Tout groupe G d’ordre $N$ est isomorphe à un sous-groupe de du groupe symétrique $S_N$.
Ce théorème, du nom du mathématicien britannique Arthur Cayley, est une véritable étincelle de génie qui éclaire la nature profonde des groupes. Il nous ouvre les portes vers une compréhension plus profonde de la structure et des propriétés des groupes, offrant un outil puissant pour explorer leur essence mathématique.
La Signature d’une Permutation : Un Concept Clé à Explorer
Ah, la signature d’une permutation, voilà une idée qui ajoute une touche intrigante à notre exploration des permutations et du groupe symétrique ! Imaginez que chaque permutation possède une sorte de « signature » qui nous révèle des détails subtils sur sa nature.
Définition: On appelle signature de $\sigma\in S_n$ le réel $$ \varepsilon(\sigma)=\prod_{1 < i < j\le n}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}.$$
La signature d’une permutation est un concept captivant qui nous permet de distinguer entre les permutations paires et impaires. Pensez-y comme à une étiquette de polarité pour chaque réarrangement d’éléments. Une permutation est dite paire si elle peut être décomposée en un nombre pair de transpositions (échanges d’éléments), sinon elle est impaire.
Si le nombre d’échanges est pair, la signature est égale à $1$, si le nombre d’échanges est impair, la signature est égale à $-1$.
