Fonctions de plusieurs variables exercices corrigés

On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. C’est le calcul différentiel en dimension finie. En particulier le calcul des dérivées partielles et les extremums des fonctions de plusieurs variables. Noter qu’on peut aussi parler de clacul differentiel dans les espaces de dimension infinie.

Continuité de fonctions de plusieurs variables

Exercice:

1. Soit $f$ la fonction de $ \mathbb{R}^{2} $ dans $ \mathbb{R} $ définie par: \begin{align*}f(x)= \begin{cases} \frac{x\tan y-y\tan x}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq (0,0),\cr 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}\end{align*}Étudiez la continuité de $ f$ en $(0,0)$.
2. Soit $f$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}^{2} $ par:\begin{align*}f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}y}{x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}},& (x,y)\neq (0,0),\cr 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}\end{align*}Montrez que la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est continue. D’autre part, prouver que la fonction $f$ n’est pas continue à l’origine.
3. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$ on définit une fonction $f_n:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ par\begin{align*}f_n(x,y):=\begin{cases} (x+y)^n\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right),& (x,y)\neq (0,0),\cr 0,& (x,y)=(0,0).\end{cases}\end{align*}Pour quelles valeurs de $n$ $f_n$ est continue ? différentiable à l’origine ? de classe $\mathcal{C}^{1}$ ?

Solution:

1. Pour étudier la limite de $f (x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, nous allons utiliser le développement limité de la fonction tangente au voisinage de l’origine qui peut s’écrire: $$ \tan u =u+\frac{u^{3}}{2}+u^{3}\varepsilon(u). $$ Avec cette notation, on a:\begin{align*}f(x,y) =\dfrac{\tfrac{1}{3}(xy^{3}-yx^{3})+x y^{3}\varepsilon(y)-y x^{3}\varepsilon(x)}{x^{2}+y^{2}}\end{align*}Choisissons la norme euclidienne $ \Vert (x,y)\Vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $, on a alors la majoration: \begin{align*}\vert f(x,y)\vert &\leq \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\left(\frac{1}{3}\vert xy\vert y^{2}+\frac{1}{3}\vert yx\vert x^{2}+\vert xy\vert \vert \varepsilon(y)\vert y^{2}+\vert yx\vert \vert\varepsilon(x)\vert x^{2}\right)\\ &\leq \vert yx\vert \left(\frac{1}{3}+\vert \varepsilon(y)\vert + \vert\varepsilon(x)\vert\right) \leq \Vert (x,y)\Vert^{2}\left(\frac{1}{3}+\vert \varepsilon(y)\vert + \vert\varepsilon(x)\vert\right).\end{align*}On en déduit que $$ \underset{(x,y)\mapsto (0,0)}{\lim }~f(x,y) = 0. $$ Ceci montre que $f$ est continue en $(0,0)$.
2. Remarquons tout d’abord que la fonction est bien définie dans $ \mathbb{R}^{2} $ puisque $$ x^{4} -2x^{2} y + 3y^{2}= (x^{2} – y)^{2} + 2y^{2} $$ ne s’annule qu’en $(0,0)$. La restriction de $f$ aux droites $x = 0$ et $y = 0$ est la fonction nulle. La restriction de $ f $ à la droite $ y = mx $, avec $ m \neq 0$,donne:$$f(x,mx)=\dfrac{mx}{x^{2} -2mx y + 3m^{2}} $$ et tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Comme $f (0,0) = 0$, la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est donc continue. Considérons la restriction de $f$ à la parabole $y = x^{2}$ . On a : $$ f(x,x^{2})=\dfrac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. $$ Par conséquent, $f (x,x^{2})$ ne tend pas vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Remarque: Pour prouver qu’une fonction de plusieurs variables n’admet pas de limite en $ M_{0} $, il suffit d’expliciter une restriction à une courbe continue passant par $ M_{0} $ qui n’admette pas de limite, ou deux restrictions qui conduisent à des limites différentes. Mais pour prouver l’existence d’une limite, il faut considérer le cas général. Dans le cas de deux variables, lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ , il peut être intéressant de passer en coordonnées polaires.
3. Il est claire que $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ car c’est le produit et composée des fonctions de classes $\mathcal{C}^\infty$. Donc il suffit d’étudier $f_n$ au point $(0,0)$. Pour $n=0$ la fonction $f_0$ n’est pas continue en $(0,0)$. Car sur la droit $y=x$ on a pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast,$$$f_0\left(\frac{1}{k^2},\frac{1}{k^2}\right)=\sin(k)$$ n’a pas de limite quand $k\to+\infty$. Pour $n\ge 1,$ on a $$|f_n(x,y)|\le |x+y|^n,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}.$$ Ceci montrer que $f_n(x,y)$ tend vers $(0,0)=f_n(0,0)$ quand $(x,y)\to (0,0)$. D’où la continuité de $f_n$ en $(0,0)$. Pour avoir une idée sur les nombres naturels $n$ pour que la fonction $f_n$ soit différentiable en $(0,0)$ nous allons tout d abord utiliser des conditions nécessaires (mais pas suffisantes) pour la différentiabilité à savoir il faut que les dérivées partielles $f’_x(0,0)$ et $f’_y(0,0)$ existent. Comme $f(x,0)=f(0,x)$ alors il suffit donc d’utiliser seulement $f’_x(0,0)$. On a alors par définition \begin{align*} f’_x(0,0)&=\lim_{x\to 0,x\neq 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\cr &= \lim_{x\to 0,x\neq 0} x^{n-1}\sin\left(\frac{1}{|x|}\right).\end{align*}Comme la limite de la fonction sinus n’existe pas a l’infini, alors la limite en haut existe si et seulement si $n\ge 2$.

Calcul  des dérivées partielles de fonctions différentiables

Exercice: Soit $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ une fonction différentiable. Donner l’expression des dérivées partielles de la fonction $$\varphi(x,y)=f(x^2y,ye^x-\sin(y)).$$

 Solution: L’idée de reécrire $\varphi$ comme le composé de $f$ avec une autre fonction. En effet, soit la fonction $g$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $$g(x,y)=\left(x^2y,ye^x-\sin(y)\right).$$Il est claire que $g$ est de classe $C^1$ puisque les fonctions coordonnées le sont et que $\varphi=f\circ g$. Si on note par $g=(g_1,g_2),$ alors pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ ona \begin{align*}\frac{\partial(f\circ g)}{\partial x}&= \frac{\partial f}{\partial x}(g(x,y))\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y)+ \frac{\partial f}{\partial y}(g(x,y))\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y)\cr &=2xy \frac{\partial f}{\partial x}(x^2y,ye^x-\sin(y))+ye^x \frac{\partial f}{\partial y}(x^2y,ye^x-\sin(y)),\end{align*} et \begin{align*}\frac{\partial(f\circ g)}{\partial y}&= \frac{\partial f}{\partial x}(g(x,y))\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(g(x,y))\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y)\cr &=x^2 \frac{\partial f}{\partial x}(x^2y,ye^x-\sin(y))+(e^x-\cos(y)) \frac{\partial f}{\partial y}(x^2y,ye^x-\sin(y)).\end{align*}

La différentiabilité de la norme

Voici un exemple classique dans la theories des fonctions de plusieurs variables.

Exercice: Etudier la différentiabilité de la fonction suivante $$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R},\quad f(x)=\|x\|.$$

Solution: Pour $x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ on a $f(x)=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$. Montrons que $f$ n’est pas différentiable en $0$ (intuitivement il faut penser à ceci car la fonction racine carrée n’est dérivable en $0$). En effet, la fonction $t\mapsto f(th)=|t|\|h\|$ n’est pas dérivable en $0$. Donc $f$ n’admet pas de dérivée partielle suivant le vecteur $h\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$ en $0$. Maintenant pour $x\neq 0$ on a \begin{align*}\|x+h\|&=\sqrt{\|x\|^2+2\langle x|h\rangle+\|h\|^2}\cr & = \|x\| \sqrt{1+\frac{2\langle x|h\rangle}{\|x\|^2}+\underset{\|h\|\to 0}{o}(\|h\|)}\cr &= \|x\|\left ( 1+\frac{\langle x|h\rangle}{\|x\|^2}+\underset{\|h\|\to 0}{o}(\|h\|)\right)\cr &= \|x\|+\frac{\langle x|h\rangle}{\|x\|}+\underset{\|h\|\to 0}{o}(\|h\|).\end{align*}Donc $$f(x+h)=f(x)+\frac{\langle x|h\rangle}{\|x\|}+\underset{\|h\|\to 0}{o}(\|h\|).$$ Comme l’application $h\mapsto \frac{\langle x|h\rangle}{\|x\|}$ est linéaire, alors $f$ est différentiable en $x$ et on a la differentielle de $f$ en $x$ est l’application donnée par$$Df(x): \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\quad h\mapsto Df(x).h=\frac{\langle x|h\rangle}{\|x\|}.$$